离散时间信号处理期末复习习题精要及答案

1.1判断下列信号是否是周期性的，并且对于每一个周期信号求其基本点周期。)125.0cos()(nnx}Im{}Re{)(18/12/jnjneenx)2.0sin()(nnx)17/cos()(16nenxj解：1、因为8/125.0))16(8cos()8cos(nn，所以)(nx是以16N为周期。2、这里我们有两个周期信号之和：)18/sin()12/cos()(nnnx其中第一个信号的周期241N，第二个信号的周期362N。因此，这个和的周期是：7212)36)(24()36,24gcd()36)(24(),gcd(2121NNNNN3、先须求得N值，使得))(2.0sin()2.0sin(Nnn，这个正弦函数是以2为周期的，所以N2.0必须是2的整数倍。但是无理数，不存在整数N使这个等式成立，于是这个周期是非周期的。4．这里有两个周期序列的乘积，321N342N所以基本周期是5442)34)(32()34,32gcd()34)(32(N。1.2线性离散系统是通过一个时延单位采样)(kn的响应)(nhk来表征的。对于如下定义的线性系统，判断是否为稳定的、因果的)()()()(knuknnhak，)2()()(knnhbk解：（a）因为0|||||)(|knkkkkknnh，所以这个系统是不稳定的。因为对于nk，0)(nhk，所以此系统是因果的。（b）注意到)(nhk最多有一个非零值，且这个非零值为1，因而对于所有n有kknh1|)(|，于是这个系统是稳定的。但这个系统不是因果的，因为如果)2()(nnx，其响应是)1()22()()(2nnnhny，这个系统产生一个在输入发生之前的响应，因此它是非因果的。1.3判断下列系统的线性和非移变性：)()()]([nxngnxTbnaxnxT)()]([解1)()()]([nxngnxT)()()]([111nxngnxT)()()]([222nxngnxT)]()()[()]()([2121nxnxngnxnxT)]([)]([21nxTnxT，所以系统为线性系统。)()()]([oonnxngnnxT)()(oonnxnng，所以为移变系统。2bnaxnxT)()]([11bnaxnxT)()]([22bnxnxanxnxT)]()([)]()([2121)]([)]([21nxTnxT，所以为非线性系统bnnaxnnxToo)()]([)(onny，所以为非移变系统。1.4考虑其输出y(n)与输入x(n)的关系如下所示的一个系统kknxkxny)()()(，判断这个系统是否为(a)线性的(b)移位不变的(c)稳定的(d)因果的(a)我们注意到)()(nnx,则)()(nny；如果)(2)(nnx，则)(4)(nny，所以系统是非线性的。(b)因为kooknnxkxnny)()()(，对于)()(1onnxnx)()()(111knxkxnyk)()(okonknxnkx所以)()(1onnyny，系统非移变。（c）如果x(n)是单位阶跃，则y(0)是无界的，所以这个系统不稳定。（d）因为y(0)等于当k取所有值时，x(k)的平方和，因此这个系统不稳定。1.5(1)已知激励为单位阶跃信号之零状态（阶跃响应）是g(n),试求冲激响应h(n)(2)已知冲激响应h(n),求阶跃响应g(n)解：（1）因为)1()()(nunun所以)1()()(ngngnh（2）)()()(nunhng)()(nhnukknhku)()(0)(kknh即0)()(kknhng1．6x(n)是系统的激励函数，h(n)是线性时不变系统的单位样值响应，求出y(n).解由图得：)2()1(2)()(nnnnx，)2()1()()(nnnnh，)()()(nhnxny)]2()1()([)]2()1(2)([nnnnnn)4()3(3)2(4)1(3)(nnnnn1．7一个具有如下单位采样响应的线性衣位不变系统h(n)=u(-n-1),如果其输入是)(3)(nunnxn，求其输出。解因为对于n-1,x(n)与h(n)等于零，所以对于n-2,这个卷积等于零。直接计算卷积和，我们得kkkknukukknhkxny)1)(()(3)()()(因为对于k0,u(-k)=0,对于kn+1,u(-(n-k)-1)=0,所以卷积和变为2,3)(01nknynkk作变量代换得2,)31)(12(4343)311(31)31()31)(1()31()(2110nnnnmnynnnmnm1．8两线性非移变系统级连，其单位样值响应分别为)4()()(1nnnh，1||),()(2anuanhn，输入)()(nunx，求系统输出y(n).解：00111)]4()()[()()()()()(*)()(mmmmnmnmumnhmumnhmxnhnxnw=u(n)-u(n-4)=)3()2()1()(nnnn)(*)()(2nhnwny)(*)]3()2()1()([2nhnnnn)1()(22nhnh)3()2(22nhnh)3()2()1()(321nuanuanuanuannnn1.9设x(n),y(n),w(n)为三个任意序列，证明:x(n)*y(n)=y(n)*x(n)x(n)*[y(n)+w(n)]=x(n)*y(n)+x(n)*w(n)证：1.mknxnymymnxmknknykxnynx)(*)()()()()()(*)(2kkknwnxnynxknwkxknykxknwknykxnwnynx)(*)()(*)()()()()()]()()[()]()([*)(1.10解差分方程：y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=0,y(-1)=2,y(-2)=1解：特征方程：0232aa2,121aa齐次解：nnccny)2()1()(21将y(-1)=2,y(-2)=1代入得：12,421cc所以：nnny)2(12)1(4)(1.11求下示差分方程的完全解：y(n)+2y(n-1)=x(n)-x(n-1)其中激励函数2)(nnx，且已知y(-1)=-1解：求得其齐次解为nc)2(，将激励信号2)(nnx代入方程右端，得到自由项为12)1(22nnn。根据此函数的形式，选择具有21DnD形式的特解，以此作y(n)代入方程给出：222121)1(])1([2nnDnDDnD12233121nDDnD比较方程两端系数得到：91,3221DD完全解的表示式为9132)2()(nCnyn代入边界条件y(-1)=-1,得到c=8/9于是：9132)2(98)(nnyn1.12设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程决定)1(21)()1(21)(nxnxnyny，该系统是因果的。（1）求该系统的单位样值响应；（2）由（1）的结果，利用卷积和求输入)()(nuenxnj的响应。解：（1）)()(nnx因为0,0)()(nnhny所以1)1(21)0()1(21)0(xxyh1)0(21)1()0(21)1(xxyh21)1(21)2()1(21)2(xxyh2)21()2(21)3()2(21)3(xxyh于是：1)21()1(21)()1(21)(nnxnxnynh即)()1()21()(1nnunhn（2）)(*)]()1()21[()(*)()(1nuennunhnxnynjn)()1()21()()1(1nuenuenjmnjwmnm)()1(211)21(21212)1(nuenueeeenjjnjnjnj)()1(21)21(nuenueenjjnnj2．1如果)(~nx是周期为N的周期序列，)(~nx也是周期为2N的周期序列。假定)(~kX表示)(~nx周期为N时的DFS系数，)(~2kX表示)(~nx周期为2N时的DFS系数，用)(~kX表示DFS系数)(~2kX。解：若)(~nx是周期为2N的周期序列，则DFS系数为nkNjNnenxkX221202)(~)(~因为)(~)(~Nnxnx，这个求和可以写为10)(22222])[(~)(~NnkNnNjnkNjeenxkX=]1[)(~1022kjNnnkNjeenxk为偶数时，括号内的项等于2，当k为奇数时，等于零。K为偶数时)2(~2)(~2)(~)2/(2102kXenxkXknNjNn所以)2(~202{)(~kXkX，22,,2,0Nk，12,,3,1Nk，2.2若)(~1nx，)(~2nx是周期为N的周期序列，DFS系数分别为)(~1kX，)(~2kX。证明：DFS系数为)(~kX=)(~1kX)(~2kX的序列等于)(~1nx和)(~2nx的周期卷积：)(~)(~)(~1021knxkxnxNk解：)(~kX=)(~1kX)(~2kX，则序列)(~nx为NnkjNkekXkXNnx/22101)(~)(~1)(~将10/211)(~)(~NlNkljelxkX代入得到NnkjNlNkljNkeelxkXNnx/210/21102])(~)[(~1)(~整理得到：NnkjNlNkljNkeelxkXNnx/210/21102])(~)[(~1)(~由于：)(~)(~1210/)(22lnxekXNNkNklnj所以：)(~)(~)(~2101lnxlxnxNl2．3求下列序列的N点DFT)()()(1nnxaNnnnnxb0020),()()(其中Nnnxcn0,)()(3Nnnnununxd0040),()()()(其中解(a)1011)()(NnnkNWnkX,1,,1,0Nk(b)knNWkX0)(2,1,,1,0Nk(c)nkNNnnnkNNnWWnxkX101033)()(kNNkNNnnkN1)(1)(10,1,,1,0Nk(d)kNknNnnnkN11)(00104)21(02nNkje)/sin()/sin(0NkNkn,1,,1,0Nk2.4已知)(kX,求其10点DFT反变换:0,391,1{)(kkkX解:X(k)可表示为90),(21)(kkkX由于)()(1nnx1)(1kX1)(2nx)()(2kNkX所以)(51)(nnx2.5利用矩表示式阵求)()(4nRnx的DFT.解:由4N得到jeWj420W1W2W3W4W6W9W2.6计算序列x(n)的N点DFT1,,2,1,0),2(cos4)(2Nn