小学数学计算教学算理的结构分析及教学策略

1小学数学计算教学算理的结构分析及教学策略江苏省常州市局前街小学蒋敏杰[摘要]：小学阶段运算能力的形成，主要围绕“理解算理”“构造算法”“解决问题”三个层面展开。“理解算理”需要突破简单层次的讲述与操作，借助意义连接，结构贯通，类比联系，模型构造的过程，帮助学生在算法形成、技能建立中，认识到算理对于运算能力形成的重要性，从而达到循“理”入“法”，以“理”驭“法”，同步提升学生综合能力。[关键词]算理，结构分析，教学策略，建模计算是学生数学素养中最基本的技能和最基本的素质，其在学生数学学习中占有重要的地位，甚至有人将其与思维并称为“数学的本质”。德国教育学家赫尔巴特说：“所有比较确定的知识，都必须从计算开始”。在小学阶段，运算能力（技能）的形成，主要通过“理解算理”“构造算法”“解决问题”三个层面，体现在整数、小数和分数的口算和笔算中。其过程发展体现两个显著特点：一是集中学习与综合应用相融合，“理解算理”“构造算法”的过程经验成为学生初步应用数学的方式，理解、分析、解决现实（数学）问题的基础；二是“理解算理”与“构造算法”的螺旋交互，学生运算技能的形成，一般均经历从算理直观到算法抽象的过程，由解决具体问题的方法内化，实现对计算技能、内容本质的内涵理解，同步形成丰富运算建模的方式及一般方法，为后续数学认知及基本思想方法的形成奠定基础。新课程推进以来，数学教师对于运算能力提升的认识，经历了简单“算法”、技能“训练”向“算理”“算法”协同发展的教学思维转变，教学研究的侧重点同步聚焦在“算法”与“算理”的融合，力图讲清“算理”，还原形式化“算法”的本质。但具体运算的“算理”是什么？如何“讲清”“算理”？“算理”与“算法”如何螺旋交互，如何综合地体现于具体的计算学习过程……一系列的问题也是现实中困扰像我这样的一线教师的问题，思考不清、定位不准、方式不活，使得有些时候计算教学仍停滞于具体计算的“技能”形成层面，而无法触及或较少涉及基于“算理”解读的“算法”提炼与应用。如何在帮助学生理解“算理”的基础上，提升运算能力，是小学计算教学的基本任务。一、小学数学计算中“算理”的认识。“算理”在数学的定义上，是指四则计算的理论依据，它是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识，其内涵包括数和运算的意义，运算的规律和性质。如果说算法是解决“怎样计算”的问题，是一种经过压缩的、一般化的计算程序，那么算理则是说明“为什么这样算”的数学原理，其为学生形成可操作化的计算，提供了正确可靠的数学依据与思维过程，是学生运算能力形成与提高的有力支撑。“计算教学既需要让学生在直观中理2解算理，也要让学生掌握抽象的法则，更需要让学生充分体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程1。”理清算理、对其进行整体的深层理解，才能真正促进学生对具体算法产生、发展、应用的综合认识。从数学学习心理的角度来看，学生的数学学习是一个不断探究、不断提高思维能力的过程。对“算理”的理解与表述，除了作用于具体计算“算法”的形成与提升，更是学生数学思维活动的外显形式，是学生提升数学的思维方式的有效平台。从数学知识获得的过程上分析，“算理”探究与理解，可帮助教师与学生共同聚焦于抽象的形式化地数学问题解决，并在分析“为什么”的过程中实现由经验表述到形式化原理认识具体算法抽象。从数学建模的角度来讲，“算理”认知的过程是“材料感知、提出问题——探究感悟，理解算理——聚类抽象，形成算法——相互转化，意义内化2”过程的重要一环，其本质也是学生对计算本质内涵的理解、逐步生成与应用的过程。如此，小学数学计算教学中的算理理解与内化除了一般意义上服务于构造算法外，还需关注算理本身对于“计算”的本质认识，从而达到循“理”入“法”，以“理”驭“法”。二、小学计算教学中“算理”认识的整体分析小学数学教学中计算主要涉及三个领域，四种运算，即整数、小数、分数的加、减、乘、除运算及四则混合运算。阅读分析小学阶段各年级计算学习的结构体例，“算理”的体验与理解主要体现在以下三个方面：从“算理”的呈现方式上看，低年级侧重借助实物图、主题图、数学工具（小棒、计数器等），借助生活经验与简单数学活动经验，经历操作活动，直观理解算理。比如通过操作小棒的“合并”“分拆”“重组”理解百以内加、减法计算。中年级侧重借助以学生原有的计算经验，借助概念、定律等，通过“优化”“再构”等初步数学认识，理解算理，比如二位数乘一位数竖式的理解。高年级侧重于结合数与形的结合，以数量关系为突破，引导学生进行简单抽象、归纳，比如分数乘法中计算中分数乘分数的算理认识。从“算理”的引导发现方式上看，低年级整数加、减法计算，主要借助于学生生活经验的再现与应用，引导学生将生活化经验提炼成数学化的表达与应用，帮助学生在建立“位值制”原则的基础上进行引导发现，其注重基于自我经验的数学化方式。中年段整数乘、除法的学习主要以具体的简单实际问题为载体，引导学生将“位值制”原则进行整合与再构，其注重基于自我“再创造”基础上的理解。高年段“小数、分数（百分数）”计算中则侧重于借助知识的有效迁移与类比，注重“算理”的“形”与“质”的沟联式理解。即从计算过程的1侯正海．在理解算理的基础上构建算法[J]．小学数学教师，2010（7、8）．2吴亚萍．中小学数学教学课型研究[M]．福建：福建教育出版社，2014：252．3具体形象思维逐步过度到抽象思维。从“算理”理解与“算法”形成的结构关系上看，低年级“算理”以操作为主，结合数的意义和四则运算意义的概念学习，同步于具体的“算法”，即将“算理”与“算法”融合于计算技能的形成过程之中。中年级“算理”的认识是半抽象的过程，以“位值制”为基础，结合竖式的抽象产生过程，形成基于“算理”认识上的“算法”构造与应用。高年级“算理”的理解则围绕数学思想及基本原理的应用，体现个人“算法”建构中的知识迁移、类比与发现，“算理”与“算法”呈现多次的螺旋交互。因此就横向计算类型（口算、估算、笔算）丰富性上分析，无论是简单整数加、减法口算还是复杂的整数四则运算计算，“算理”的理解中，数学概念、性质、定律始终融于具体的运算能力的形成过程中（见结构图）1。从图中可以看出，整数加、减、乘法中“位值概念”与“运算意义2”是整数加、减、乘法运算“算理”的基础。1马立平．小学数学的掌握和教学[M]．上海：华东师范大学出版社，2011：18，44，76．（略有修改）2侯正海．在理解算理的基础上构建算法[J]．小学数学教师，2010（7、8）．10以内加减法20以加减法100以内加减法进位与退位10的分与合加减法互为逆运算位值制（十进制）不进位、不退位加减法二、三位数加减法图一：整数加、减法结构图加减法意义一位数乘法数的组成乘法的意义二位数乘法三位数乘法分配律位值制概念图二：整数乘法结构图4从纵向计算的拓展性（整数、小数、分数）上分析，“算理”的理解呈现结构化特征。即“算理”的理解不是对孤立的某个运算的理解，而是与其他内容相融合，并呈现循环向上的结构特征，把握结构，将有助于引导学生对“算理”的深化理解与主动剖析。从图中可以看出，小数、分数的四则运算的“算理”一方面来源于对数概念的意义引申，借助“形”与“式”的结合，帮助学生直观理解，另一方面数学思想有机融于“算理”的分析中，学生的“算理”分析借助化归思想、类比思想、推理能力等的渗透，综合体现于具体问题的分析解决之中。三、小学计算教学中“算理”理解的教学策略1．融合“数概念”“运算意义”的意义认识，为理解“算理”提供基础保障。计算技能、运算能力的形成依赖于学生对于“数”“数的意义”的认识。因此苏教版教材在编排中将计算教学与数概念、运算意义的教学融为一体，体现“算理”与“算法”的无缝对接。数概念是按照10以内、20以内、100以内、万以内……的方式编排的，计算也是按照10以内数的计算、100以内数的计算、万以内数的计算……的方式编排。这样，夯实对“数概念”“运算意义”的清晰认识，有助于使计算教学融于具体的问题解决情况中，实现两者双向通达式的互为补充，使学生对它们有整体性的认识，形成较完整知识系统。比如“9加几”整数加、减法小数加、减法位值概念类比迁移整数乘、除法小数乘、除法位值概念化归思想图三小数四则运算结构图加法意义整数乘法意义分数乘法的意义分数除法的意义分数的概念运算律及运算性质单位的概念整数乘法意义逆运算的概念图四分数乘、除法运算结构图转化5的教学，是学生在学习了20以内数后组织的学习活动，教材主题图呈现了如下情境：盒子里放着9个红苹果，盒子外放了4个绿苹果，启发学生思考“一共有多少个？”学生通过主题图的认识，借助“加法意义”理解，认识到“一共有多少个”，就是将两种苹果合并起来，用加法计算。9+4可以从加法的基数意义理解，从第一个开始依次数完；也可以从加法的序数意义入手，即从9个开始数起，依次数完盒子外的苹果。数一数的方法与加法意义相融合，同步揭示9+4的算理。然后，教师进一步引导学生思考，“可以有更快捷的方法吗？”这样学生就需要对计算方法进行优化，教师引导学生进一步观察盒子里一共有10格，再放一个正好放满，正好是10个，再加剩下的3个，一共是13个苹果，学生借助对“合并”过程的理解，体验到具体数数过程中“凑十法”的原理与意义，这也是学生后续进行计算中的重要“算理”体现。其后再进行形式化的“分解”，即用算式来表达算理，结合“满十进一”的计数原则，进一步提升学生对于“凑十法”的理解与应用。如此，“理解算理”与“构造算法”有机结合，20以内进位加法的“算法”建立通过整数概念、加法运算意义的形成“算理”理解，数的概念与计算原理的交互融合，对于学生形成合理的认知结构、方法结构是十分有益的。2．完善直观操作——表象操作——抽象分析的过程提升，为理解“算理”提供思维支撑。小学阶段，尤其是低年级小学生的思维特点以具体形象思维为主，有意注意时间短，记忆主要是短时记忆。因此计算教学中“算理”理解应充分考虑学生的年龄特点，引导学生结合具体的情境，观察具体学习对象，调动学生手、脑、口等各种感官参与，借助“小棒”“计数器”等数学工具，通过直观操作活动将抽象的算理形象地显现出来，为算法的构建提供原型支撑。比如“13－9”教学时，可让学生试着动手“去一去”，使学生在呈现与交流不同“去”的方式中，体会“破十法”和“做减想加”的算理。又如整数除以分数学习中，教师以直观的操作结果启发学生发现4÷12和4×2之间的联系，在学生初步感悟分数除以整数与乘法之间的联系后，进一步指导学生在图形中分一分，经历平均分的操作活动，利用直观的操作结果发现4÷13=4×3，4÷14=4×4，从而在具体操作中初步形成形象化的算理认识。直观操作可帮助学生“感悟”算理，但对于“算理”的理解却不能仅停于直观操作，还需向“表象操作”“思维表征”过渡。即算理理解需逐步深入，“直观”的成分应逐步减少，逐步引导学生摆脱对具体形象的依赖，在丰富的数学活动中，经历数学化的过程中，不断提高思维的水平，学会抽象地思考问题。比如“13-9”的直观操作后，要引导学生变化不同20以内的数减9情况，尝试用计数器、数学语言，抽象算式来表达算理；在“整数除以分数”6教学中，教师要引导学生继续思考：“如果除数是23这样的非分数单位又如何来说清算理呢”？启发学生联系上面的计算经验，用画图、数学验证、表达等方式再次进行观察与分析，进一步明确整数除以分数的算理，同步形成算法。从直观操作到表象操作再到抽象分析，在算理剖析的过程中，一方面要以操作的过程与经验推理算理的直观理解；另一方面，也要重视由算法向具体操作的“反思”，这样双向互通式的“形象”与“抽象”的结合，可以帮助学生真正理解算理，构建算法。3．激活已有知识、经验，横向意义联接，为理解“算理”提供动力源泉。小学生数学知识、技能的习得与数学经验积累是循序渐进、螺旋上升的，学生运算能力形成也是如此，先前计算的技能与经验是后继计算能力形成的基础。因此在新的计算学习上，尤其是“算理”的认识活动中，应注重激活学生已有的知识、经验，并将新计算的“算理”理解与解晰建立