第七章-分布的参数估计.

统计学原理西南民族大学经济学院第七章分布的参数估计本章内容简介：总体特征（如均值与方差）↓困难：无法得到全部总体（第二章）从总体中抽取一部分样本（样本容量：大样本）↓（大数定理与中心极限定理）计算样本的特征（抽样分布、样本统计量）↓推断总体特征（方法：点估计与区间估计）统计学原理西南民族大学经济学院参数估计在统计方法中的地位参数估计假设检验统计方法描述统计推断统计统计学原理西南民族大学经济学院统计推断的过程样本总体样本统计量例如：样本均值、比例、方差统计学原理西南民族大学经济学院7.1参数估计基本概念1.估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本方差等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量2.参数用表示，估计量用表示3.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x=80，则80就是的估计值ˆ统计学原理西南民族大学经济学院4.估计方法：点估计与区间估计矩估计法最小二乘法最大似然法顺序统计量法估计方法点估计区间估计统计学原理西南民族大学经济学院5.评价估计量的标准1.无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数2.有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效3.一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数统计学原理西南民族大学经济学院无偏性(unbiasedness)无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数P()BA无偏有偏ˆˆ统计学原理西南民族大学经济学院有效性(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效AB的抽样分布的抽样分布1ˆ2ˆP()ˆˆ统计学原理西南民族大学经济学院一致性(consistency)一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P()ˆˆ统计学原理西南民族大学经济学院7.2点估计1.用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2.点估计的方法:1.矩估计法（重点）2.最大似然法3.顺序统计量法4.最小二乘法等统计学原理西南民族大学经济学院矩估计方法：一个例子例：圣安德鲁大学每年接受900份入学申请，申请表含学生学术能力测试成绩、学生是否希望学校提供住宿等信息。招生主管希望知道申请学生学术能力测试的平均成绩及希望由学校提供住宿的学生的比例。本例中，我们有两种方法可以得到相关信息：对900名申请者作普查；用随机数表选取容量为30的随机样本。对总体研究可以得到以下总体参数：ix990900ix2()80900p648.72900统计学原理西南民族大学经济学院抽样而得的样本数据RandomNo.NumberApplicantSATScoreOn-Campus1744ConnieReyman1025Yes2436WilliamFox950Yes3865FabianAvante1090No4790EricPaxton1120Yes5835WinonaWheeler1015No.....30685KevinCossack965No统计学原理西南民族大学经济学院点估计作为的点估计s作为的点估计作为p的点估计xpixx29,9109973030ixxs2()163,99675.22929p2030.68•注意：不同的随机样本有不同的样本统计值，故抽取不同样本进行的点估计往往是不同的。统计学原理西南民族大学经济学院点估计方法缺点：没有给出估计值接近总体参数程度的信息统计学原理西南民族大学经济学院7.3区间估计基本概念1.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%样本统计量(点估计)置信区间置信下限置信上限统计学原理西南民族大学经济学院1.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平2.表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例3.常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10置信水平统计学原理西南民族大学经济学院1.由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间2.统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间3.用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间(confidenceinterval)统计学原理西南民族大学经济学院7.4一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差2XP2S统计学原理西南民族大学经济学院总体均值的区间估计(大样本)1.假定条件总体服从正态分布,且方差(２)已知大样本(n30)2.使用正态分布统计量Ｚ3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)1,0(~NnXZ)(22未知或nSzXnzX统计学原理西南民族大学经济学院统计学原理西南民族大学经济学院总体均值的区间估计:已知正态分布【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3统计学原理西南民族大学经济学院续解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：总体均值在1-置信水平下的置信区间为28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx该食品平均重量的置信水平为95％的置信区间为101.44克~109.28克36.105x统计学原理西南民族大学经济学院总体均值的区间估计：大样本【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532统计学原理西南民族大学经济学院总体均值的区间估计(例题分析)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为63.41,37.3713.25.393677.7645.15.392nszx投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁5.39x77.7s总体均值的区间估计(小样本)统计学原理西南民族大学经济学院总体均值的区间估计(小样本)1.假定条件正态总体，方差未知，小样本(n30)2.使用t分布统计量3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)1(~ntnSXtnStX2统计学原理西南民族大学经济学院t分布t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布Xt分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)Z统计学原理西南民族大学经济学院总体均值的区间估计(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470统计学原理西南民族大学经济学院总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131。根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为2.1503,8.14762.1314901677.24131.214902ntx该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时1490x77.24s统计学原理西南民族大学经济学院举例:ApartmentRents某学生的一篇校外住房租金的抽样调查显示：在距学校半公里的10个单居室租金情况是样本均值$550/月样本标准差$60。求：在95%的置信水平上，总体平均租金的区间估计。知置信系数为0.95，则0.05，/2=.025，查表得右侧尾部面积为0.025时，t.025=2.262右尾面积.10.05.025.01.005......71.4151.8952.3652.9983.49981.3971.8602.3062.8963.35591.3831.8332.2622.8213.250101.3721.8122.2282.7643.169......自由度统计学原理西南民族大学经济学院运用t分布进行区间估计：550+42.92或$507.08to$592.92xtsn.0251060262.2550总体比例的区间估计统计学原理西南民族大学经济学院总体比例的区间估计1.假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量Ｚ)1,0(~)1(NnPZ3.总体比例在1-置信水平下的置信区间为)()-1()1(22未知时或nPPzPnzP统计学原理西南民族大学经济学院总体比例的区间估计(例题分析)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96%35.74%,65.55%35.9%65100%)651%(6596.1%65)1(2nppzp该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%统计学原理西南民族大学经济学院举例:PSI有限公司是一家从事选举人民意测验，并向有意竞选者提供相关信息的专业公司。在最近一次选举中，公司以电话调查的方式对选举人询问其投票意向。PSI发现在在500个注册选民中有220个选民支持某一候选人。PSI希望在95%的置信水平上估计全部选民支持此人的比例在一个什么样的区间上。统计学原理西南民族大学经济学院据总体比例的区间估计的公式：已知:n=500,=220/500=.44,z/2=1.96代入：.44+.0435PSI有95%的把握认为总体比例在.3965到.4835区间上。pzppn/()21p...(.)4419644144500总体方差的区间估计统计学原理西南民族大学经济学院总体方差的区间估计1.估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布3.总体方差2的点估计量为S2,且4.总体方差在1-置信水平下的置信区间为1~1222nSn111122122222nSnnSn统计学原理西南民族大学经济学院总体方差的区间估计(图示)221222总