空间点直线平面之间的位置关系[高考数学总复习][高中数学课时训]

高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载希望大家高考顺利空间点直线平面之间的位置关系1.给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1,l2互相平行；④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是.答案42.对于平面和直线l，内至少有一条直线与直线l（用“垂直”，“平行”或“异面”填空）.答案垂直3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成部分.答案74.（2007·广东理，12）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条.这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=;f(n)=.（答案用数字或n的解析式表示）答案2)1(nn8n(n-2)5.如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为.答案60°基础自测高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载希望大家高考顺利例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，CG∶GD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.（1）求AH∶HD；（2）求证：EH、FG、BD三线共点.(1)解∵EBAE=FBCF=2，∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD=GH，∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.∴HDAH=GDCG=3,即AH∶HD=3∶1.（2）证明∵EF∥GH,且ACEF=31，ACGH=41，∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形.令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH平面ABD，P∈FG，FG平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.例2如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点.问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.解（1）不是异面直线.理由如下：∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点.∴MN∥A1C1，又∵A1AD1D，而D1DC1C，∴A1AC1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形.∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线.（2）是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC平面CC1D1，这与正方体ABCD—A1B1C1D1中BC⊥面CC1D1相矛盾.∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.例3（16分）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.（1）求四棱锥的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.解（1）在四棱锥P—ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBO=60°，2分在Rt△POB中，高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载希望大家高考顺利∵BO=AB·sin30°=1，又PO⊥OB，∴PO=BO·tan60°=3,∵底面菱形的面积S=2×21×2×2×23=23.∴四棱锥P—ABCD的体积VP—ABCD=31×23×3=2.8分（2）取AB的中点F，连接EF，DF，∵E为PB中点，∴EF∥PA，∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）.10分在Rt△AOB中，AO=AB·cos30°=3=OP，∴在Rt△POA中，PA=6，∴EF=26.12分在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE=3，由余弦定理得∴cos∠DEF=EFDEDFEFDE222214分=2632)3()26()3(222=2346=42.所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为42.16分1.如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线.证明∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH平面ABD.∵EH∩FG=O，∴O∈平面ABD.同理可证O∈平面BCD，∴O∈平面ABD∩平面BCD，即O∈BD，所以B、D、O三点共线.2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.求证：直线FG平面ABCD且直线FG∥直线A1B1.高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载希望大家高考顺利证明由已知得E是CD的中点，在正方体中，由于A∈平面ABCD，E∈平面ABCD，所以AE平面ABCD.又AE∩BC=F，从而F∈平面ABCD.同理G∈平面ABCD，所以FG平面ABCD.因为EC21AB，故在Rt△FBA中，CF=BC，同理DG=AD.又在正方形ABCD中，BCAD，所以CFDG，所以四边形CFGD是平行四边形，所以FG∥CD.又CD∥AB，AB∥A1B1，所以直线FG∥直线A1B1.3.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA=1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.解取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为异面直线BE与CD所成的角或其补角.在Rt△EAB中，AB=AC=1，AE=21AD=21，∴BE=25，在Rt△EAF中，AF=21AC=21，AE=21，∴EF=22，在Rt△BAF中，AB=1，AF=21，∴BF=25，在等腰三角形EBF中，cos∠FEB=254221BEEF=1010，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为1010.一、填空题1.若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是.答案平行、相交或异面2.给出下列命题：①若平面内的直线a与平面内的直线b为异面直线，直线c是与的交线，那么直线c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b为异面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面；③一定存在平面和异面直线a、b同时平行.高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载希望大家高考顺利其中正确命题的序号是.答案③3.已知a，b是异面直线，直线c∥直线a,则c与b的位置关系.①一定是异面直线②一定是相交直线③不可能是平行直线④不可能是相交直线答案③4.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则说法错误的有（填序号）.①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面答案①③④5.（2008·辽宁文）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有条.答案无数6.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.答案547.如图所示，在三棱锥C—ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是.答案30°8.已知a、b为不垂直的异面直线,是一个平面，则a、b在上的射影可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.则在上面的结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.答案①②④二、解答题9.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点.求证：（1）E，C，D1，F四点共面；（2）CE，D1F，DA三线共点.证明（1）如图所示，连接CD1，EF，A1B，∵E、F分别是AB和AA1的中点，∴EF∥A1B且EF=21A1B，又∵A1D1BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF与CD1确定一个平面，∴E，F，C，D1∈，即E，C，D1，F四点共面.（2）由（1）知EF∥CD1，且EF=21CD1，∴四边形CD1FE是梯形，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE平面ABCD，高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载希望大家高考顺利且P∈D1F平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1=AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点.10.定线段AB所在的直线与定平面相交，P为直线AB外的一点，且P不在内，若直线AP、BP与分别交于C、D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点.证明设定线段AB所在直线为l,与平面交于O点，即l∩=O.由题意可知，AP∩=C，BP∩=D，∴C∈，D∈.又∵AP∩BP=P,∴AP、BP可确定一平面且C∈，D∈.∴CD=∩.∵A∈，B∈,∴l,∴O∈.∴O∈∩，即O∈CD.∴不论P在什么位置，直线CD必过一定点.11.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为CC1、AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线.解在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA.又∵FD1平面BED1F，AD平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.如图所示.12.如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点，EDAE=FCBF=21，AB=CD=3，EF=7，求AB、CD所成角的大小.解如图所示，在线段BD上取一点G，使GDGB=21.连接GF、GE、EF.EDAE=GDBG=FCBF=21，GE∥AB，且GE=32AB=2，同理，GF∥CD，且GF=31CD=1，在△EGF中，cos∠EGF=12271222=-21,∴∠EGF=120°.由GF∥CD,GE∥AB可知,AB与CD所成的角应是∠EGF的补角为60°.高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载希望大家高考顺利