第03讲Schrodinger方程的建立1

第03讲薛定谔方程的建立一、量子力学的基本假定量子力学的基本假定：1）运动状态和波函数的关系假定：在量子力学中，体系的运动状态由波函数),(tr描述，波函数满足连续、单值、平方可积，它的物理意义就是波恩提出的“统计解释”。和经典力学类似，也应该建立一个决定),(tr随时间t变化的方程式。当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻粒子所处的状态也要由一个方程来决定。2）关于力学量和线性厄米算符的关系：微观体系的每一个可以观察的物理量（如：动量、能量、角动量、坐标、时间等）在量子力学中都对应一个线性厄米算符。3）关于力学量测量的假定：对状态的微观体系的力学量F进行测量时候，可能出现两种情况：每一次测量的结果均得到同一确定的值，则认为此微观体系处于该力学量的本征状态，该状态所对应的波函数是力学量算符的本征函数。Fˆ。如果每一次测量的结果得到不同的值，则认为此微观体系不处于该力学量的本征状态。那么，在该状态下，力学量没有确定值，只有平均值。平均值的计算方法：ddFF**/ˆ在经典力学中，体系的运动状态随时间的变化服从牛顿方程。牛顿方程是关于时间t的二阶全微分方程，方程的系数通常只含有运动本身相关的物理量――－质量m，一但初始条件给出，方程将会唯一决定以后任何时刻的运动状态。从物理上看，这个方程必须满足：①由于波函数是满足线性叠加原理的，而态的叠加原理对任何时间都成立，因此描述波函数随时间变化的方程必须是线性方程；②方程的系数不含有粒子特定性质的有关量，如动量p,空间位置r等，通常只含有，如质量m，普朗克常数等物理量h。③因为),(tr是tr,的函数，因此必然是关于tr,的一个微分方程，通常是关于tr,不高于二阶的偏微分方程。一但初始条件和边界条件确定之后，方程能够确定以后任何一个时刻的波函数),(tr。二阶偏微分方程的解，通常是存在和唯一的。④经典力学是量子力学的极限形，因此这个方程必须满足对应原理：式当0时方程为牛顿方程.⑤对于自由粒子这一特殊情况，方程的解是平面波。二、自由粒子的平面波方程（波函数）如下)()(),(EtzpypxpiEtrpizyxAeAetrEit2222xpx，2222ypy，2222zpz222222222pzyx利用自由粒子的能量和动量的关系式：ppupuE21212，是粒子的质量。可得：222uti它满足前面的条件。动量算符的演化：222p))((222iip为粒子质量，则动量算符iP利用自由粒子的能量公式：ppupuE21212有222utiEit所以能量算符：tiE22222uipuiEit三、量子力学的算符：算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。设某种运算把函数u变为v，用符号表示为vuFˆ，则把这种运算符号Fˆ称为算符。例如：vdxdudxdD就是大家熟悉的微分算符。应当怎样理解算符和他所表示的力学量之间的关系呢？（1）BAˆ,ˆ是两算符，对于函数的满足线性关系：gAbafAbgafAˆˆˆ称为线性算符。（2）厄米算符F如果算符Fˆ作用于一个函数时，结果等于函数乘上一个常数，即：Fˆ，则称为算符Fˆ的本征值，为属于本征值的本征函数，方程称之为算符Fˆ的本征方程。如果算符Fˆ表示力学量F，那么当体系处于的Fˆ本征态时，力学量F有定值，这个值就是Fˆ在态中的本征值。我们知道，所有力学量的的数值都是实数。既然表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符，他的本征值必须是实数。下面要介绍的厄米算符就具有这个性质，因而力学量中表示力学量的算符都是厄米算符。即对所有,满足：drFdrF**ˆˆ称Fˆ为厄米算符。其特性如下：1.厄米算符特征值为实数。以表示F的本征值；表示所属的本征函数，则Fˆ。2.不同特征值的特征向量正交（3）力学量的两种表达形式：应当怎样理解算符和他所表示的力学量之间的关系呢？每个力学量和一个算符对应。①经典表达；②算符的形式。①时间t,t②坐标：zyxr,,zyxr,,③动量：xpxipxˆypyipyˆzpzipzˆpipˆ④动能：T22222ˆuupT⑤角动量：)(ˆ,yzzyiMzPyPMxyxx)(ˆ,zxxziMxPzPMyzxy)(ˆ,xyyxiMyPxPMzxyz⑥总的角动量：2222zyxMMMM算子:222ˆyzzyM22zxxz22xyyx⑦总能量：H=T(动能)+V(势能))(2ˆ22rUuH⑧多粒子总能量：),,,(2ˆ2122trrrUHnkk体系的能量和哈密顿算符相对应，)(2ˆ22rUuH我们知道，哈密顿算符是在哈密顿函数中将动量p换为动量算符pˆ而得到的。这反映了经典力学中的力学量的经典表达式得出量子力学中表示该力学量的算符规则。如果力学量在经典力学中的表达式是),(prF，则对应在量子力学中的算符为)ˆ,ˆ(ˆprF。在经典力学中动量p对原点的位置矢量r，绕原点的角动量是：prL，因而量子力学中的角动量算符是：riprLˆˆˆ四、薛定谔方程的建立利用量子力学中的能量关系式来建立Schrodinger方程。设粒子在力场中的势能为),(tru，这时粒子的能量和动量的关系式是：)(22rUuPE两边乘上),(tr，便得到),(tr所满足的微分方程)(222rUuti这个方程就称为Schrodinger波动方程，简称薛定谔方程，也称为波动方程。需要说明的是这个方程不是用数学的方法推导出来的，是从描写自由粒子的平面波的表达式出发利用其复数表达形式，而得出的结论的。但trkAcos显然不是方程的解。薛定谔方程的正确性是有各种情况下方程得出的结论和实验结果比较来验证的。薛定谔方程很容易推广到多粒子的情况，我们设有n个粒子，设nrrr,,21表示这n个粒子的坐标，那么描述体系状态的波函数就是nrrr,,21的函数，体系的能量方程可以表示为：),,,(2212trrrUPEnkk，式中k是第k个粒子的质量，kP是第k个粒子的动量),,,(21trrrUn是体系的势能，它包括体系在场外的能量和粒子之间相互作用的能量。上式两边乘上波函数),,,(21trrrn并作替代tiEkkiP其中：},,{kkkkzyx于是，多粒子的薛定谔方程为：),,,(22122trrrutihnkk