第04章概率随机变量

1第4章概率随机试验：对随机现象的客观观测。随机试验具有（1）可重复性；（2）可观测性；（3）随机性。样本空间：随机试验的所有结果的集合称作样本空间。概率的统计定义：在不变的一组条件下，重复进行n次试验。当n充分大时，若事件A发生的频率稳定地在某个常数p附近摆动，且一般来说，n越大，摆动幅度越小，则称常数p为事件A的概率，记为P(A)=p。（如，投硬币，求正面朝上的概率。）0200400600800100000.20.40.60.81模拟投硬币1000次，正面朝上次数占总次数比率随时间变化的序列图概率的古典定义：若A1,A2,…,An构成一个等可能完备事件组，而事件B是由其中m个基本事件构成，则事件B的概率用下式表示。P(B)=m/n（投色子中求某个点的概率。）客观概率：由可重复试验定义的概率为客观概率。（如投硬币时，正面朝上的概率，某次火车晚点的概率，某校学生每年通过英语4级的概率，某段公路上车辆发生交通事故的概率等。）概率的统计定义和古典定义都指的是客观概率。主观概率：是对概率的主观解释。常用于不可重复试验的事件。（某学生来年能考上大学的概率，某市某天下雨的概率。）相互独立：若两个事件积的概率等于这两个事件概率的积，即P(AB)=P(A)P(B)则称事件A，B相互独立。（例A、B表示两粒麦种各自发芽的概率。显然A、B相互独立，且相容。）互不相容：若事件A，B不能同时发生则称事件A，B为互不相容事件。（投色子中“1点”和“2点”是互不相容事件。但“1点”和“奇数点”是相容事件。）注意：“相互独立”和“互不相容”是两个不同的概念，不要混淆。互不相容事件一般不是相互独立事件。因为对于两个相互独立事件A，B，有P(A)0，P(B)0。则P(AB)=P(A)P(B)0。当A，B为互不相容事件时，必有P(AB)=0，不能满足相互独立的条件。见61页例1。条件概率：在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率称作事件B在给定事件A下的条件概率。表示为P(B|A)。2利用概率的古典定义求概率时，完备事件组内的基本事件必须是等概的。下面介绍一种基本事件不一定是等概的求概率问题。贝努里试验过程若一个随机试验只含有两种相互对立的可能结果，则称作贝努里（Bernoulli）试验。如一个篮球运动员投篮命中率为0.7，非命中率为0.3，投篮一次，结果可能是“投中”也可能是“未投中”。这就是一次贝努里试验。观察一个灯泡使用寿命低于还是高于100小时也是一次贝努里试验。实际中，常常不是只考察一次贝努里试验，而是连续考察多次。把这样的序列称作贝努里试验序列。贝努里试验过程：在n次贝努里试验中，假设每次试验结果与其他各次试验结果无关，且每次试验中该试验结果出现的概率都是p,（0p1），则称这样的过程为n重贝努里试验过程。例1：一批小麦种子的发芽率为0.95，取10粒种子做发芽试验。求结果有8粒种子发芽的概率。解：每粒种子种下后是否发芽都是一次贝努里试验。若取10粒种子做发芽试验，则每粒种子是否发芽是相互独立的。10粒种子中有8粒发芽的可能结果的概率是P(A1,A2,…,A10)=P(A1)P(A2)…P(A10)=0.9580.052=0.00165855。10粒种子中有8粒发芽的可能结果共有810C种。因为810C种结果相互独立，所以10粒种子中有8粒发芽的概率是P(8)=810C0.00165855=0.07463第5章随机变量及其数字特征在上一章，介绍的事件概率都是对某一事件而言。人们自然想到，对整个样本空间内各个事件的概率取值又如何呢？这就是随机变量的概率分布问题。随机变量及其分布的研究是以事件及其概率的研究为基础展开的。它是统计推断的理论基础。随机变量就是随机试验中被测量的量。随机试验每出现一个基本事件，随机变量就相应取一个实数值。从数学意义上讲，随机变量就是定义在样本空间上的函数。随机变量取各种可能值的概率称作随机变量的概率分布。随机变量定义（1）：按一定的概率取不同实数值的变量称为随机变量，用x,y等表示。随机变量定义（2）：样本空间内每一个可能结果都唯一地对应着一个实数x()，则称实数值变量x()为随机变量。常用x,y等表示。如（1）天津站每日的客流人数。（2）某商场日销售电视机台数。（3）某储蓄所的日存款余额。（4）某地区居民的日用水量。（5）高速公路上单位时间内通过的机动车数量。（6）流水线上生产的罐装啤酒的净重值。若随机变量x可能取的值为有限个或可列个，则称x为离散型随机变量。若随机变量x可能取的值是整个数轴，或数轴上的某个区间，则称x为连续型随机变量。连续型随机变量的概率分布是通过随机变量在一切可能区域内取值的概率定义的。最常用和最简便的形式是通过概率密度函数表示。对于随机变量x，若存在非负可积函数f(x)，（-x），使对任意实数a,b,(ab)有3P{axb}=badxxf)(则称x为连续型随机变量。f(x)为x的概率密度函数（简称概率密度或密度）。由上式知f(x)在[a,b]区间上的积分等于随机变量x在[a,b]区间取值的概率。研究经济问题为什么还要学习随机变量？因为许多经济问题都符合随机变量的要求。通过随机变量把经济问题上升到统计理论高度进行研究，有利于找到经济变量变化的一般规律。（例：勾三股四弦五。周朝的商高发现了勾股定理。）5.1随机变量的数学期望对于离散型随机变量x，若有概率分布P{x=xi}=pi,(i=1,2,…,)则称ixipi为x的数学期望，简称为期望或均值。记作E(x)。对于连续型随机变量x，若密度函数为f(x)，则称badxxxf)(为x的数学期望。记作E(x)。期望属于位置特征。用来描述随机变量取值的集中位置。体现了随机变量取值的平均大小。期望就是随机变量取一切可能值的加权平均。其中的权数就是概率值。数学期望的性质如下：(1)常量的期望就是这个常量本身。E(k)=k(2)常量与随机变量和的期望等于这个随机变量的期望与这个常量的和。E(x+k)=E(x)+k(3)常量与随机变量乘积的期望等于这个常量与随机变量期望的乘积。E(kx)=kE(x)(4)随机变量的线性函数的期望等于这个随机变量期望的同一线性函数。E(kx+c)=kE(x)+c(5)两个随机变量和（或差）的期望等于这两个随机变量期望的和（或差）。E(xy)=E(x)E(y)(6)两个相互独立随机变量乘积的期望等于这两个随机变量期望的乘积。E(xy)=E(x)E(y)5.2随机变量的方差、标准差随机变量x对其均值的离差平方的数学期望，E[x-E(x)]2称作随机变量x的方差。记作Var(x)。)(xVar则称作x的标准差。方差和标准差用来描述随机变量的离散特征。它们反映了随机变量取值离散程度的大小。对于离散型随机变量x，方差的定义是Var(x)=i(xi-E(x))2pi其中pi表示x取xi值时的概率。4对于连续型随机变量x，方差的定义是Var(x)=[x-E(x)]2f(x)dx其中f(x)是x的概率密度函数。注意：（1）Var(x)的量纲是x的量纲的平方。（2）)(xVar的量纲与x的量纲相同。随机变量方差的性质：(1)常量的方差为零。Var(k)=0(2)随机变量与常量之和的方差等于这个随机变量的方差。Var(x+k)=Var(x)其中x为随机变量，k为常量。(3)常量与随机变量乘积的方差等于这个常量的平方与随机变量方差的乘积。Var(kx)=k2Var(x)其中k为常量。证明：由方差定义Var(kx)=E[kx-E(kx)]2=E[kx-kE(x)]2=k2E[x-E(x)]2=k2Var(x)(4)随机变量的方差等于这个随机变量平方的期望减其期望的平方。Var(x)=E(x2)–[E(x)]2证明：由方差定义Var(x)=E[x-E(x)]2=E[x2–2xE(x)+[E(x)]2]=E(x2)–2E(x)E(x)+(E(x))2=E(x2)–(E(x))2(5)两个相互独立随机变量之和（或差）的方差等于这两个随机变量方差的和。Var(xy)=Var(x)+Var(y)下面证明随机变量之差情形。证明：由方差定义Var(x-y)=E[(x-y)–E(x-y)]2=E[x-y–E(x)-E(y)]2=E[(x–E(x))-(y-E(y))]2=E[(x–E(x))2+(y-E(y))2–2(x–E(x))(y-E(y))]=Var(x)+Var(y)–2E[(x–E(x))(y-E(y))]其中E(x–E(x))(y-E(y))是随机变量x与y的协方差。因为x与y相互独立，所以E[(x–E(x))(y-E(y))]=0（见下面第3小节，随机变量的协方差）。上式的结果是Var(x-y)=Var(x)+Var(y)注意：两个相互独立随机变量差的方差不等于这两个随机变量方差的差。(6)由性质（5）有如下结论：若两个随机变量是相互非独立的，其和与差的方差公式是，Var(x+y)=Var(x)+Var(y)+2Cov(x,y)Var(x-y)=Var(x)+Var(y)-2Cov(x,y)其中Cov(x,y)表示x与y的协方差（协方差概念见下）。5.3随机变量的协方差协方差定义：随机变量x,y分别对其均值的离差乘积的数学期望E[(x-E(x))(y-E(y))]5称作随机变量x,y的协方差，记作Cov(x,y)。其中E(x),E(x)分别表示x,y的期望。协方差用来描述两个随机变量关系的紧密程度。对于离散型随机变量x,y，协方差定义为Cov(x,y)=ij(xi-E(x))(yj-E(y))p(xi,yj)其中p(xi,yj)=P(x=xi,y=yj)表示x=xi,y=yj条件下的概率。上式是协偏差[xi-E(x)][yj-E(y)]的加权平均。对于连续型随机变量x,y，协方差定义为Cov(x,y)=(x-E(x))(y-E(y))p(x,y)dxdy其中p(x,y)是x,y的概率密度函数。当x,y相互独立时，Cov(x,y)=0。协方差的大小与x,y的量纲有关。一般来说，改变x,y的量纲，则x,y协方差的值也要改变。因此协方差所提供的主要信息是正值、负值还是零。注意：虽然两个变量相互独立，意味着协方差为零，但反过来不一定成立，即协方差为零，该两个变量未必独立（但肯定不存在线性相关）。第6章随机变量的概率分布6.1离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的一切可能取值及其取值的相应概率称作离散型随机变量的概率分布。可用表格法和作图法表示。表格法是：xx1x2x3…xi…pp1p2p3…pi…例2：仍以例1为例。10粒种子中发芽粒数的样本空间是x=0,1,2,3,…,10。用表格法和作图法表示离散型随机变量的概率分布如下。xp计算公式概率分布图00.000p(0)=C1000.9500.05100.00.10.20.30.40.50.60.71234567891010.000p(1)=C1010.9510.05920.000p(2)=C1020.9520.05830.000p(3)=C1030.9530.05740.000p(4)=C1040.9540.05650.000p(5)=C1050.9550.05560.00096p(6)=C1060.9560.05470.01047p(7)=C1070.9570.05380.07463p(8)=C1080.9580.05290.31512p(9)=C1090.9590.051100.59873p(10)=C10100.95100.050合计1.00000（文件名stat02）离散型随机变量的概率分布有如下性质：(1)pi0(2)pi=16二项概率分布：n个独立的、同分布的贝努利随机变量之和用x表示，x=x1+x2+…+xn则称x为二项随机变量。二项概率函数为，p(x)=Cnxpx(1-p)n–xx=0,1,2,…,n其中Cnx=)!(!!xnxn。则称x的分布为二项概率分布。（