第09讲寻找解题途径(第05课时-变量辅助-添加辅助线)

中学生数学解题能力训练第9讲寻找解题途径-变量辅助-添加辅助线应知：设辅助量的目的是通过辅助量来找出量与量之间的关系。应会：利用辅助量。如果不能直接利用你已解决过的问题的结论或方法？，引入辅助量后能利用吗？辅助量包括几何中的添加辅助线，解析几何中的设置参数，代数和三角中的把比值设为k，降次，分式化为整式，根式化为有理式，超越式化为代数式，求函数表达式等等。设辅助量的目的是通过辅助量来找出量与量之间的关系。4．添加辅助线例.（初三）已知AB交⊙O于C、D，AC=BD，AM、BM分别切圆于M、N，求证：OAM=OBN。分析：可以连结OM和ON，作OE⊥AB于E，这样就用全等的直角三角形把已知量都联系起来了。例.（初三）如图，ABCD表示矩形硬纸片，其中AC=22，ABBC，把矩形沿对角线折起来，使ABC和ADC所在的平面垂直，此时BD=5。试求AB、BC之长。分析：有两个未知数，需要建立两个方程。第一个方程为AB2+BC2=8，是明显的（B=90º）。但第二方程，经作图得出后，还需要利用平面几何知识将它逐步引向AB、BC，为此又引进新的未知量DE、BE。这些新的未知量最终是会消去的。解：从D作AC的垂线交AC于E，则DE也垂直于平面ABC（因为平面ADC⊥平面ABC，且DE垂直两平面的交线AC）故BE⊥DE。于是，为了将条件BE2+DE2=5中的DE、BE换成AB、BC，依次找出下列关系：BE2=BC2+CE2-2BC•CE•cos⑴DE2=(22-CE)•CE⑵AB2=DC2=22•CECE=222AB⑶22cosBC⑷先将⑶式和⑷式代入⑴式和⑵式，再代入BE2+DE2=5，则得：522222)22(22)2222(2222222BCABABBCABAB即542222BCABBCAB，与AB2+BC2=8联立，解之得AB=2,BC=6。点评：在上面列出关系式⑴⑵⑶⑷时，要多次从各种位置上分析，应用平面图形的性质。例如，如果看不出ABC和ADC为直角，则找不出需要的关系式。有些则容易看错，例如，以为BE⊥AC,或以为BE、DE在矩形的对角线上，这样就会得出错误的关系式。为了不出这样的问题，可以把折起来的图形再放平来看，由此不但能看清上面的关系式⑴⑵⑶⑷，还可以再发现另外的关系而得到另外的解法，例如：DE=DC•cos=AB•sin⑴’EDBAC（第5课时）BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cos⑵’EC=DC•sin=AB•sin⑶’cos=22BC,sin=22AB⑷’先将⑴’⑵’⑶’代入BE2+DE2=5，得：AB2•cos2+BC2+AB2sin2-2BC•AB•sin•cos化简并将⑷’代入得542222BCABBCAB。例.（高三）如图，OA是定圆的直径，动直线OB与圆相交于M1，并与经过A的直线相交于B，MM1⊥OA，BM∥OA,求M点的轨迹方程。分析：设M(x,y)，OA=a，xOB=,连结AM1，则OM1=a•sin,可得2sinayactgx,消去即可得出结果x2y+a2y=a3。DABCEyxBM1MoA