第09讲配凑法(高中版)

第09讲配凑法(高中版)（第课时）D重点：1．；2．；3．。难点：1．；2．；3．；。1．；2．；3．。1．；2．；3．。所谓“配凑”指的是利用恒等变形的方法，把一个解析式中的某些项配凑我们所需要的形式，用得最多的是配成完全平方式。它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的解析式以及最值、数列等等方面都经常用到它。常用的基本配凑形式如下：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2；……等等。常用的基本配凑策略如下：把结论（或等式左边）变形，凑出题设（或等式右边）形式，以方便利用已知条件。把题设（或等式左边）变形，凑出结论（或等式右边）形式，以从中推出结论。把题设（或等式左边）先变形，再把结论（或等式右边）变形，凑出变形后的题设（或等式左边）形式。1．配凑法在化简求值中的应用例.（高一）设22121xx，求3212323xxxx的值。解：设yx21，则由已知可得21yy，神经网络准确记忆！重点难点好好把握！考纲要求注意紧扣！命题预测仅供参考！考点热点一定掌握！而5432)1(233)1(31213223223312323yyyyyyyyyyxxxx。点评：本题是把把题设（或等式左边）先变形，再把结论（或等式左边）变形，凑出变形后的题设（或等式右边）形式。2．配凑法在恒等式和不等式证明中的应用3．配凑法在方程中的应用例.（高二）设方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，若(pq)2+(qp)2≤7成立，求实数k的取值范围。解：方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2,(pq)2+(qp)2＝pqpq442()＝()()pqpqpq2222222＝[()]()pqpqpqpq2222222＝()k22484≤7，解之得k≤－10或k≥10。又因为p、q为方程x2＋kx＋2=0的两实根，∴△＝k2－8≥0即k≥22或k≤－22，综上所述，k的取值范围是：－10≤k≤－22或22≤k≤10。点评：关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。4．配凑法在二次函数中的应用例.（高一）函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。A.（－∞,54]B.[54,+∞)C.(－12,54]D.[54,3)解：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5．配凑法在数列中的应用例.（高三）求和nxxxxn24212141211。分析：通分、拆项等技巧对本题均不适用，我们在进行分式运算时曾用过“逐项累加”的技巧，受此启发，如果把原题再配上一项x11，就可以进行累加了。解：原式xxxxxxnn111214121111242xxxxxnn11121412122422xxnn1112121点评：本题通过添项凑出能逐项累加的形式。6．配凑法在复数中的应用例.（高三）设非零复数a、b满足a2＋ab＋b2=0，求(aab)1998＋(bab)1998。分析:把已知式两边同时除以b2变形为(ab)2＋(ab)＋1＝0，则ab＝ω（ω为1的立方虚根），再把已知式配方为(a＋b)2＝ab，把二者代入所求式即可得解。解法一:把a2＋ab＋b2=0变形为(ab)2＋(ab)＋1＝0，设ω＝ab，则ω2＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以1＝ba，ω3＝3＝1，又由a2＋ab＋b2=0变形得：(a＋b)2＝ab，所以(aab)1998＋(bab)1998＝(aab2)999＋(bab2)999＝(ab)999＋(ba)999＝ω999＋999＝2。点评：本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。如果未联想到231i，可以用下面的解法：解法二：把a2＋ab＋b2＝0变形为(ab)2＋(ab)＋1＝0，解出ba＝132i后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式(ab)999＋(ba)999，再完成后面的运算。解法三：假如本题没有想到以上一系列变换过程，还可由a2＋ab＋b2＝0解出a＝132ib，代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。7．配凑法在三角中的应用例.（高一）求证：8sin8sin8cos4cos2cosxxxxx。解：左边8sin82cos4cos4sin48sin82cos4cos8cos8sin8xxxxxxxxx8sin8sin8sin82cos2sin2xxxxx右边点评：本题是把等式左边变形，凑出等式右边的形式（凑出右边的分母）。8．配凑法在立体几何中的应用例.（高二）已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。A.23B.14C.5D.6分析：设长方体长宽高分别为x,y,z，则211424()()xyyzxzxyz,而欲求对角线长xyz222，将其配凑成两已知式的组合形式可得。解：设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xyyzxzxyz。长方体所求对角线长为：xyz222＝()()xyzxyyzxz22＝6112＝5所以选B。点评：本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。9．配凑法在解析几何中的应用例.（高三）方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。A.14k1B.k14或k1C.k∈RD.k＝14或k＝1解：配方成圆的标准方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解r20即可，选B。123456789因式分解化简求值√恒等式证明不等式证明方程√二次函数√数列√复数√三角√√√立体几何解析几何√能力测试认真完成！参考答案仔细核对！1.（高一）若012xx，试求1223xxx的值。解：22)1()1(122223xxxxxxxxxx，由012xx可得251x，∴2531223xxx。点评：本题关键在于把结论变形，使之出现条件的形式。但本题并不能用题设的形式来全部表示结论，只是化简结论，使其后的计算变得比较简单。2.（高三）已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，求实数a。答案：3－11。3.（高一）如图：开口向下的抛物线caxaxy42与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A在x轴的正半轴，点B在x轴的负半轴，点C在y轴的正半轴，且BO=OC。（1）求证：4a－ac=1；（2）如果点A的坐标为（2，0），求点B的坐标（3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。答案：（1）略（2）B（6，0）（3）存在P（－2，4）4.（高三）在正项等比数列{an}中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则a3＋a5＝_______。解：利用等比数列性质ampamp＝am2，将已知等式左边配方（a3＋a5）2后易求。答案是：5。5.（高三）求5-12i的平方根。提示：使用配方法。[结果为)23(i]6.（高一）已知2tg，求sincossincos的值。解：由2tg可知0cos，∴223212111cossincoscossincossincossincostgtg。点评：本题是把结论变形，凑出题设形式。7.（高一）设qpctg,求sincossincosqpqp的值。CByAxO图11—1解：222222sinsincossinsincossincossincosqpqpqqpqqpqpctgqpctgqpqpqpqp。点评：本题是把结论变形，凑出题设形式。8.（高一）已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。A.1B.－1C.1或－1D.0解：已知等式经配方成(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。9.（高三）平移坐标轴，化简方程013314822yxyx。提示：将方程配方为100)7()4(22yx，再平移坐标轴化简。（结果为10022yx）