第10章机械振动答案

第十章机械振动一.选择题:【C】1、（基础训练3）一长为l的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图13-16所示），作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量231mlJ，此摆作微小振动的周期为(A)gl2.(B)gl22.(C)gl322.(D)gl3.提示：均匀的细棒一段悬挂，构成一个复摆，可根据复摆的振动方程求解办法，求出复摆的振动周期。【C】2（基础训练4）一质点作简谐振动，周期为T．当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为(A)T/12．(B)T/8．(C)T/6．(D)T/4．提示：从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上，矢量转过的角位移为31，对应的时间为T/6.[B]3（基础训练8）图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为(A)23．(B)．(C)21．(D)0．提示：使用谐振动的矢量图示法，合振动的初始状态为2A,初相位为【B】4、（自测提高5）一简谐振动曲线如图所示．则振动周期是(A)2.62s．(B)2.40s．(C)2.20s．(D)2.00s．提示：使用谐振动的矢量图示法，初始状态旋转矢量位于第四象限，初始相位为3，到第一次回到平衡位置时，旋转矢量转过的角度为6532＝＋，此过程经历时间为1s，可得65＝，等到周期为2.4sxtOA/2-Ax1x2图13-23x(cm)t(s)O421【C】5、（自测提高6）如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m的物体，再用此弹簧改系一质量为4m的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为m的物体，则这三个系统的周期值之比为(A)1∶2∶2/1．(B)1∶21∶2．(C)1∶2∶21．(D)1∶2∶1/4．提示：劲度系数为k的轻弹簧截成二等份，每份的劲度系数为变为2k，并联后系统的劲度系数为4k.【D】6、（自测提高7）一物体作简谐振动，振动方程为)21cos(πtAx．则该物体在t=0时刻的动能与t=T/8（T为振动周期）时刻的动能之比为：(A)1:4．(B)1:2．(C)1:1．(D)2:1．(E)4:1．提示：t=0时，物体正好处于平衡位置，动能最大，t=T/8时，AATAx22)43cos()218/*cos(ππ,此时系统的动能和势能相等，为动能最大值的一半。二填空题1、(基础训练10)已知两个简谐振动的振动曲线如图13-20所示．两简谐振动的最大速率之比为___1：1____．提示：最大速率为A，分析这两个振动的角速度与振幅的关系即可。2、(基础训练12)一系统作简谐振动,周期为T，以余弦函数表达振动时，初相为零．在0≤t≤T41范围内，系统在t=_T/8_时刻动能和势能相等．提示：动能和势能相等，为总能量的一半，此时物体偏离平衡位置的位移应为最大位移的22，相位为4，因为初始相位为零，t=T/83、(基础训练16)两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：)215cos(10621tx(SI)，)5cos(10222tx(SI)图13-24m4mm432-11t(s)ox(cm)x1x21-22图13-20它们的合振动的振辐为210102(SI),初相为3121tg＝108.40提示：用旋转矢量图示法求解4、(自测提高8)在静止的升降机中，长度为l的单摆的振动周期为T0．当升降机以加速度ga21竖直下降时，摆的振动周期02T．提示：当升降机以加速度加速下降时，对于单摆，等效加速度为g-a=0.5g;单摆的周期变为:022TaglT5、(自测提高11)一单摆的悬线长l=1.5m，在顶端固定点的竖直下方0.45m处有一小钉，如图13-26所示．设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比A1/A2的近似值为_0.837_．提示：当单摆在最低位置时，对左右两边有：222211)(21)(21AmAm，对于单摆lg，2211AlgAlg837.0:2121llAA6(自测提高14)、两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如图13-27所示．由图可知x方向和y方向两振动的频率之比xy=___4:3___．提示：在同样的时间间隔内，X方向的振动为2Tx，而y方向的振动为1.5Ty,周期之比为3：4，频率之比相反为4：3三计算题1.（基础训练23）有两个同方向的简谐振动，它们的方程(SI单位)如下：4110cos06.04310cos05.021txtx，(1)求它们合成振动的振幅和初位相。(2)若另有一振动)10cos(07.03tx，问为何值时，31xx的振幅为最大；为何值时，32xx的振幅为最小。解：（1）合成振动的振幅：078.006.005.022A图13-26l0.45m小钉图13-27xy初相位：11tan)41cos06.043cos05.041sin06.043sin05.0(tan110＝84.80(2)若另有一振动)10cos(07.03tx，31xx振幅最大，需要振动的初相位相同，所以43，32xx的振幅最小，需要初相位相差1800，这时452（自测提高17）、一质量m=0.25kg的物体，在弹簧的力作用下沿x轴运动，平衡位置在原点.弹簧的劲度系数k=25N·m-1．(1)求振动的周期T和角频率．(2)如果振幅A=15cm，t=0时物体位于x=7.5cm处，且物体沿x轴反向运动，求初速v0及初相．(3)写出振动的数值表达式．解：（1）弹簧振子的52,1025.025TmkS（2）振动表达式：)cos(0tAXt=0时，x=0.075且vx0,30,)sin(0tAvXt=0时，smAvX/30.1)3sin(（3）振动表达式)310cos(15.0tX3（自测提高18）、一物体放在水平木板上，此板沿水平方向作简谐振动，频率为，物体与板面间的最大静摩擦系数为。求：物体在板上不致滑动时振幅的最大值。解：设振动方程：)cos();cos(02220tAdtxdatAXx要使在板上的物块不滑动，最大静摩擦力正好提供加速度，有：22224,vugugAAmumg4（自测提高22）、为了使单摆的振动周期在高度H处和地球表面上相等，其长度须减少多少？设地球表面处摆长为l0，地球半径为R，且HR。解：长度为l0的单摆在地球表面的振动周期为000/2glT1分此处20/RGMg为地球表面处的重力加速度（M为地球质量G为引力常量），在高H处重力加速度2)/(HRGMg，而长度为l的单摆的振动周期为：glT/21分已知T=T0l0/g0=l/g将g0及g代入可得220)/(/HRRll22000)/(1/)(/HRRlllll又HR，则22/RH可略，得出：RHRHRHll2)1(1)/1(11220或RHll/203分5（自测提高23）.如图13-31所示。一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点(t=0)，经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且AB=10cm求：(1)质点的振动方程；(2)质点在A点处的速率。解：由旋转矢量图和|vA|=|vB|可知T/2=4秒，∴T=8s，=(1/8)s-1，s-13分(1)以AB的中点为坐标原点，x轴指向右方．t=0时，5xcmcosAt=2s时，5xcmsin)2cos(AA由上二式解得tg=1因为在A点质点的速度大于零，所以=-3/4或5/4（如图）2分25cos/xAcm1分∴振动方程)434cos(10252tx(SI)1分(2)速率)434sin(41025dd2ttxv(SI)2分当t=0时，质点在A点221093.3)43sin(10425ddtxvm/s1分附加题1（自测提高24）在伦敦与巴黎之间（约S＝320km）挖掘地下直线隧道，铺设地下铁路．设只在地球引力作用下时列车运行，试计算两城市之间需运行多少时间？列车的最大速度是多少？忽略一切摩擦，并将地球看作是半径为R=6400km的密度均匀的静止球体，已知处于地球内部任一点处质量为m的质点所受地球引力的大小与它距地球中心的距离成正比，可由(4)/3Gmr表示，式中G为引力恒量，为地球密度，r为质点与地球中心的距离。解：见图，质量为m的质点P受的引力在指向O点的方向上的分力为vBxABOt=0t=2st=4svAvBABvx图13-31sin34mrGF①2分上式中xrsin②1分又因mgRmRG23134有gRG34,即RgG34③1分将②、③式代入①式，得xRmgF这表明，在OP方向上，F正比于x并且方向相反，故为谐振动．因此xRmgtxmF22dd其解为tRgAx/cos2分令5106.1)2/()2/sin(SRAm则列车运行所需时间gRRgT/2/2242.3min2分列车最大速度12maxsm1098.1/v－RgA2分2（自测提高25）一半径为R的圆形线圈，通有强度为I的电流，平面线圈处在均匀磁场B中，B的方向垂直纸面向里，如图13-32所示。线圈可绕通过它的直径的轴OO＇自由转动，线圈对该轴的转动惯量为J。试求线圈在其平衡位置附近做微小振动的周期。解∶BpMmsinBpMm1分22ddsintJBpm2分在微小振动时sin,IRpm2,代入上式有∶0dd222JBRIt∴JBRI2,IBJRT22分xSMR2/rPIROOB