第4讲一元二次方程综合-

第四讲一元二次方程综合【趣题引路】例(印度古题)有一群蜜蜂,其半数的平方根只飞向茉莉花丛,89留在家里,还有两只去寻找荷花瓣里嗡嗡叫的雄蜂.这两只雄蜂被荷花的香味所吸引,傍晚时由于花瓣合拢,飞不出去了.请告诉我蜂群中有多少只蜜蜂?解析设蜂群中有2x2只蜜蜂,则x只蜜蜂飞向茉莉花丛;2x2×89只蜜蜂留在家里;还有两只飞向花瓣.依题意,得2x2=x+169x2+2,即2x2-9x-18=0.解得x1=6,x2=-32(舍去).于是2x2=72即为所求.点评本题是一元二次方程的应用题,这样设未知数的目的在于使解一元二次方程变得较容易;此题还可直接设未知数,利用换元法求解.一般地,利用一元二次方程解应用题的步骤是:审、设、列、解、答.【知识延伸】例1把3x2-7xy-6y2-10x+8y+8分解因式.解析原式=3x2-(7y+10)x-(6y2-8y2-8),令3x2-(7y+10)x-(6y2-8y-8)=0,则△=[-(7y+10)]2-4×3×[-(6y2-8y-8)]=121y2+44y+4=(11y+2)2≥0.于是方程两根x1,2=(710)(112)23yy即x1=3y+2,x2=-243y∴原式=3(x-3y-2)(x+243y)=(x-3y-2)(3x+2y-4).点评二元二次多项式可整理成关于x(或y)的二次三项式进行因式分解,二次三项式又可以(或y)的一元二次方程的根来分解.例2已知凸4n+2边形A1A2…A4n+2(nN)各内角都是30°的整数倍,已知关于x的方程2122232312sinsin0,2sinsin0,2sinsin0,xxAAxxAAxxAA均有实根,求这凸4n+2边形各内角的度数.解析∵各内角只能是30°,60°,90°,120°,150°,∴正弦值只能取12,32,1.若sinA1=12,∵sinA2≥12,sinA3≥12,∴方程①的判别式△1=4(sin2A1-sinA2)≤4(14-12)0.方程①无实根,与已知矛盾,故sinA1≠12.同理sinA2≠12,sinA3≠12;若sinA1=32,则sinA2≥32,sinA3≥32,∴方程①的判别式△1=4(sin2A1-sinA2)=4·(34-32)0,方程①无实根,与已知矛盾.∴sinA1≠32,同理sinA2≠32,sinA3≠32.综上,sinA1=1,A1=90°.这样,其余4n-1个内角之和为4n×180°-3×90°=720°·n-270°,这些角均不大于150°,∴720°·n-270°≤(4n-1)·150°,故n≤1.又n为正整数,∴n=1.即多边形为凸六边形,且A4+A5+A6=4×180°-3×90°=450°.∵A4,A5,A6≤150°,∴A4=A5=A6=150°.点评由于各内角都是30°的整数倍,故只能是30°,60°,90°,120°,150°,根据方程①②③有实根的条件,确定A1,A2,A3的值,再利用多边形内角和定理与每一内角不大于150°,确定多边形的①②③边数,即n的值,以此可得其余各内角的度数,本题应充分考虑方程有实根的条件.【好题妙解】佳题新题品味例已知如图,在四边形ABCD中,AD=DC=1,∠DAB=∠DCB=90°,BC、AD的延长线交于点P,求AB.S△PAB的最小值.解析设DP=x,则PC=21x.∵△PCD∽△PAB,∴CD:AB=PC:PA.∴AB=211CDPAxPCx.设y=AB.S△PAB,则y=12AB2·PA=22(1)2(1)xx·(x+1).x2+2(1-y)x+(1+2y)=0,∵x是实数,∴方程有实数根.△=4(1-y)2-4(1+2y)=4y(y-4)≥0,由于y0,∴y≥4,即AB·S△PAB≥4,其最小值为4.点评本题是利用判别式解几何题,关键是据已知条件和图形的数量特征,建立一个一元二次方程,然后,由实根存在的条件,使问题得到解决.中考真题欣赏例(2003年天津市中考试题)已知关于x的方程x2-(P+q+1)x+p=0(q≠0)的两个实数根为α,β,且α≤β.(1)试用含有α、β的代数式表示P和q;(2)求证:α≤1≤β;(3)若以α,β为坐标的点M(α、β)在△ABC的三条边上运动,且△ABC顶点的坐标分别为A(1,2),B(12,1),C(1,1).问是否存在点M,使P+q=54?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.解析(1)∵α、β是方程x2-(P+q+1)x+p=0(q≥0)的两根,∴△=(p+q+1)2-4p=(p+q-1)2+4q≥0,且α+β=p+q+1,αβ=p.∴p=α·βq=α+β-p-1=α+β-αβ-1;(2)∵(1-α)(1-β)=1-(α+β)+αβ=-q≤0(q≥0),又α≤β,∴α≤1≤β;(3)若使p+q=54成立,只需α+β=p+q+1=94,①当M(α,β)在BC边上运动时,由B(12,1),C(1,1),得12≤α≤1,β=1,而α=94-β=541,故在BC边上不存在满足条件的点.②当M(α,β)在AC边上运动时,由A(1,2),C(1,1),得α=1,1≤β≤2,此时,β=94-α=54,∵1542,故在AC边上存在满足条件的点,坐标为(1,54)③当点M(α,β)在AB边上运动时,由A(1,2),B(12,1),得直线AB解析式y=2x,∴β=2α.又2,9.4求得3,43.2∵12341,1322,故在AB边上存在满足条件的点,其坐标为(34,32).综上所述,当M(α,β)在△ABC三条边上运动时,存在点(1,54),(34,32),使p+q=54成立.点评(2)中,将根的范围α≤1≤β转化为证明(1-α)(1-β)≤0的思想很重要,(3)中的分类讨论应全面,不要遗漏任何一种情况.竞赛样题展示例1(2001年全国数学竞赛试题)已知实数a,b满足a2+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2,那么t的取值范围是_________.=1,ab-a2-b2=t两式两端相加得2ab=t+1,故ab=12t.又(a+b)2=a2+ab+b2+ab=1+ab=32t≥0,∴t≥-3,且a+b=±32t.于是,a,b是关于方程x2+32tx+12t=0的两个实数根.∴△=32t-2(t+1)=-32t-12≥0,即t≤-13,综上,t的取值范围是-3≤t≤-13.点评此题另解:-ab=(a2+ab+b2)-(a+b)2=1-(a+b)2≤1,故ab≥-1(a=-b时取等号),由3ab=(a2+ab+b2)-(a-b)2=1-(a-b)2≤1,得3ab≤1,即ab≤13(a=b=33时取等号).于是-1≤ab≤13,则-3≤t≤-13.例2(2002年全国初中数学竞赛试题)设x1,x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实根,则(x1-2x2)(x2-2x1)的最大值为________.解析由题意,得△=a2-4(a-2)=a2-4a+8对一切实数a都有△0,且x1+x2=-a,x1x2=a-2.∴(x1-2x2)(x2-2x1)=5x1·x2-2(x2212xx)=-2(x1+x2)2+9x1·x2=-2(-a)2+9(a-2)=-2a2+9a-18当a=992(2)4时,其最大值为24(2)(18)94(2)=-638点评去括号后,代数式可转化为x1+x2,x1x2的表达式,从而可表示为关于a的一元二次函数,=0,求作一个二次方程,使它的一个根为原方程的两根和的倒数,另一个根为原方程两根差的平方.2.在实数范围内把(x2+x)2-4x(x+1)+3分解因式.3.当k为何值时,解分式方程2141224kxxxx会产生增根.为何值时,方程组20,50.xyxyk有两组相同的解?并求出这组相同的解.5.甲、乙两名职工接受相同数量的生产任务,开始时,乙比甲每天少做4件,乙比甲多用两天时间,这样甲、乙两人各剩624件;随后,乙改进了生产技术,每天比原来多做6件,而甲每天的工作量不变,结果两人完成全部生产任务所用的时间相同.求原来甲、乙两人每天各做多少件?每人的全部生产任务是多少?6.如图,PA切⊙O于点A,PBC交⊙O于点B、C,若PB,PC的长是关于x的方程x2-(m-2)x+(m+2)=0的两个根,且BC=4,求m的值及PA的长.OPCBA=0.设原方程两根为x1,x2,则x1+x2=92,x1·x2=4.另设新方程两根为t1,t2,则t1=121xx=29,t2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(29)2-4×4=174,于是t1+t2=16136,t1·t2=1718,新方程为t2-16136t+1718=0,即36t2-161t+34=0.2.(x+1132)(x+1132)(x+152)(x+152).3.k=2.去分母得x2+(k-5)x-2(1-k)=0,方程的增根只可能是x=2或x=-2,当x=-2时,代入x2-(k-5)x-2(1-k)=0得12=0矛盾,故x=-2不是整式方程的解;当x=2时,代入方程x2-(k-5)x-2(1-k)=0得k=2,∴k=2时方程会产生增根x=2.4.由②,得y=k-5x,③将③代入①,得x2+5x-k=0,由于方程有两组相同的解,∴△=25+4k=0,∴k=-254.由x2+5x+254=0,得x1=x2=-52,将k,x1,x2代入方程③得y1=y2=-254,∴k=-254,方程组的解为12125,2254xxyy5.设原来甲每天做x件,乙每天做(x-4)件.改进技术后,乙每天做(x-4)+6=x+2件,则6246242xx=2,化简得x2+2x-624=0,解得x1=24,x2=-26(舍去),故原来甲每天生产24件,乙每天生产20件;设每人全部生产任务为y件,则6246242024yy=2,解得y=864.6.m=10,PA=23由题意得,PB+PC=m-2,PB·PC=m+2.=PC-PB=4,得(CP-PB)2=16,即(PC+PB)2-4PC·PB=16,∴(m-2)2-4(m+2)=16,解得m=10,或m=-2.∵当m=-2时,PB+PC0,∴m的值为10,又由题意得PA2=PB·PC=12.∴PA=23.B卷1.若正实数x、y、z、r满足(1)x2+y2=z2;(2)z(x2-r2)=x2,求证:xy=z·r.2.已知a、b、c满足a+b+c=0,abc=8,求c的取值范围。3.已知方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,求证:方程ax2+bx+c+k(x+2ba)=0(k≠0)至少有一个根在前一个方程的两根之间.、y、z均为实数,a0,且满足关系x+y+z=a,①x2+y2+z2=12a2,②求x、y、z的取值范围.5.已知t为方程x2-3x+1=0的根,求有理数b、c,使得(t+a)(bt+c)=1对任一给定的有理数a都成立.由条件(1)可构造直角三角形ABC,使AC=y,BC=x,AB=z,如图1,由条件(2)联想射影定理,作斜边AB上的高CD