第10讲锐角三角函数

第十讲锐角三角函数【趣题引路】甲、乙两名运动员在陆地赛跑的速度以及在水中游泳的速度都相同.有一次他俩进行赛跑和游泳综合测试,比赛路线如图所示,陆地跑道与河岸所成的角为30°,水路泳道与河岸所成的角为60°,甲赛跑、游泳的线路是折线AA1A2,乙赛跑、游泳的线路是折线BB1B2,起跑点的连线与线路垂直,终点连线也与线路垂直,开始两人并肩跑,甲先到岸边跳入水中,接着乙再到岸边,在水中两人齐头并进同时到达终点,你知道他们在陆地上的跑步速度V1与水中游泳的速度V2之比是多少吗?解析如图,作A1B3⊥BB1,B1A3⊥A1A2,垂足分别为A3、B3.因两人在陆地上赛跑的速度相同,故甲跑完AA1与乙跑完BB3所用时间相同.同样,甲游完A3A2所花时间与乙游完B1B2所花时间也相同.又因为两人从出发至到达终点所花的总时间相同,所以甲游完A1A3的时间恰好等于乙跑完B3B1的时间,设这个时间为t,则:t=133121AABBvv.∴12vv=3113BBAA,……①,在Rt△A1B3B1中,cos30°=1311BBAB,∴B1B3=32A1B1,……②,在Rt△A1A3B1中,cos60°=1311AAAB,6030B3B2B1A3A2A1BA∴A1A3=12A1B1,……③.由上述三式得:12vv=11113212ABAB=3.【知识延伸】“锐角三角函数”中我们学习了锐角的正弦、余弦、正切,余切以及一些特殊角的三角函数值的有关计算.在解与锐角三角函数有关的问题时,还要充分利用其余角和同角函数关系,我们知道,在Rt△ABC中,sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A),tanA=(90°-A),cotA=tan(90°-A).这是互余两角的三角函数关系.同时,同角三角函数间也存在着一些特殊的关系.如图，在Rt△ABC中,∵sinA=ac,cosA=bc,∴sin2A=22ac,cos2A=22bc,且a2+b2=c2.∴sin2A+cos2A=1,像这样的同角三角函数关系还有:tanA·cotA=1,tanA=sincosAA，cotA=cossinAA。另外,锐角三角函数还有两个非常重要的性质:1.单调性.当a为锐角时,sina与tana的值随a的增大而增大,cosa与cota的值随a增大而减小;2.有界性.当0≤a≤90°时,0≤sina≤1,0≤cosa≤1.例1在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=tanB,求cosA的值.解析在Rt△ABC中,∵∠A+∠B=90,∴tanB=cotA.∵sinA=tanB,∴sinA=cotA.∵cotA=cossinAA,∴sinA=cossinAA即sin2A=cosA.∵sin2A+cos2A=1,∴cos2A+cosA=1.cbaCBA解得:cosA=152∵0A90°,∴0cosA,故cosA=512。点评本例也可以将sinA,tanB用线段的比表示,如结合Rt△ABC,有sinA=ac,tanB=ba,再设法求bc,即得到cosA的值.例2已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两根正好是某直角三角形两个锐角的正弦,求m的值.解析依题意,可设方程4x2-2(m+1)x+m=0的两根为sinA、sinB,其中∠A+∠B=90°,由根与系数关系,得:sinA+sinB=12m,sinA·sinB=4m。由∠A+∠B=90°,知sinB=sin(90°-A)=cosA.∴sinA+cosA=12m,①sinA.cosA=4m,②∵sin2A+cos2A=1,∴(sinA+cosA)2-2sinA·cosA=1.③将①、②代入③,得（12m）2-2·4m=1.解得:m1=3,m2=-3.∵0sinA1,0cosA1,∴0sinA+cosA1,0sinA·cosA1,即012m2,04m1,解得0m3.∴m=-3不合题意,应舍去,故m的值为3.点评解答本题的关键是先把两个互余角(∠A+∠B)换成同一个角(∠A),再利用同角的正弦、余弦之间的关系sin2A+cos2A=1进行转化得到关于m的方程.最后注意验根.【好题妙解】佳题新题品味例1试运用三角函数的定义,求sin15°,cos15°,tan15°,cot15°的值.解析如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB到D,使BD=BA,则∠ADB=15°.令AC=x,则BC=3x,AB=2x,AD=22[(23)]xx=(6+2)x.∴sin15°=sin∠ADB=624(62)ACxADxcos15°=cos∠ADB=(23)624(62)DCxADx.tan15°=tan∠ADB=(23)ACxDCx=2-3.cot15°=cot∠ADB=(23)DCxACx=2+3.点评求某些特殊角的函数值的基本方法:构造一个直角三角形,使它的一个内角为所需求值的角的度数,再推导出三边关系,最后运用三角函数定义求解.例2如图,从Rt△ABC的直角顶点C作斜边AB的三等分点,连结CE、CF,已知CE=sina,CF=cosa(a为锐角),求AB的长.NMFECBA、F作EM⊥AC,FN⊥AC,垂足分别为M、N.设AC=b,BC=a,则因BE=EF=FA,则:EM=23a,FN=13a,CM=13b,CN=23b.在Rt△CEM中,EM2+CM2=EC2.即(23a)2+(13b)2=sin2a,在Rt△CFN中,FN2+CN2=CF2,即(13a)2+(23b)2=cos2a,∵sin2a+cos2a=1,∴59a2+59b2=1,∴a2+b2=95,即AB2=95,∴AB=355.点评构造直角三角形,将已知条件进行转化,是解答本题的关键.中考真题欣赏例1(2002年上海市)已知:如图，四边形ABCD中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=45,求S△ABD:S△BCD.解析S△ABD=12AD·BD=12BD·tan∠ABD·BD=12BD2·sincosABDABD=12BD2·241()545=12BD2·34.=38BD2.在△BCD中作CE⊥BD,垂足为D.则CE=BC·sin60°=BD·32=32BD.∴S△BCD=12BD·CE=34BD2.∴S△ABD:S△BCD=223834BDBD=32.点评利用三角函数关系式将两个三角形的面积用其公共边的代数式表示,是解决本题的关键.例2(2002年山西省)如图,MN表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区,取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°,已知MB=400m,通过计算回答,如果不改变方向,输水线路是否会穿过居民区?解析过A作AC⊥MN于点C,设AC长为xm,由题意可知∠AMC=30°,∠ABC=45°,∴MC=AC·cot30°=3x,BC=AC=x.∵MC-BC=MB=400,∴3x-x=400.解得x=200(3+1)m.∵x500,∴不改变方向,输水线路不会穿过居民区.点评本题揭示解决有关斜三角形问题基本途径:作三角形的高线,化斜三角形为直角三角形的问题求解.竞赛样题展示例(1997年江苏省竞赛试题)若直角三角形的两个锐角A、B的正弦是方程x2+px+q=0的两个根.(1)那么,实数P,q应满足哪些条件?(2)如果p、q满足这些条件,方程x2+px+q=0的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A、B的正弦?解析(1)已知A、B为直角三角形的两个锐角,而且,sinA,sinB是方程x2+px+q=0的两根,则有△=p2-4q≥0,①sinA+sinB=-p,sinA·sinB=q.∵sinA0,sinB0,∴p0,q0.∴A+B=90°,∴sinB=cosA.∴sinA+cosA=-p,sinA·cosA=q,∴p2=(-p)2=(sinA+cosA)2=1+2sinA·cosA.∴p2=1+2q,即p2-2q=1.将p2=1+2q代入①式,得1+2q-4q≥0,则q≤12.故所求条件是p0,0q≤12,p2-2q=1,②(2)设条件②成立,则p2-4q=1-2q≤0.故方程有两个实根:α=242ppq=122pq,β=242ppq=122pq,∵p2=1+2q,∴-p=12q.∵-12q≤12q12q=-p,∴0-p-12q≤-p+12q∴β≥α0.∵α+β=22p=-p,α·β=222()(4)4Ppq=q,∴α2+β2=(α+β)2-2α·β=p2-2q=1.∴0α≤β1.∴α、β为直角三角形两个锐角的正弦.点评在直角三角形中,因A+B=90°,蕴含着sin2A+sin2B=sin2A+cos2A=1这一等量关系.全能训练A卷1.如果a为锐角,且cosa=45,那么sina=______.2.若sina+sin2a=1,a为锐角,则cos2a+cos4a=________.3.tan452sin60cot45cot60-cot30°+2cos60°=__________.4.若cota=2,则222sincos2cossincosaaaaa=_________.5.已知tan2x-(3+1)tanx+3=0,求锐角x的度数.=2,求锐角a的度数.7.在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=15°,BC=1,求AC的长.A卷答案1.35.sina=21cosa=16125=35.2.1.∵siaa+sin2a=1,∴sina=1-sin2a,即sina=cos2a,∴cos2a+cos4a=sina+sin2a=1.3.5-3.4.12.∵cosa=2,即cossinaa=2,∴cosa=2sina,∴原式=2222sin4sin8sin2sinaaaa=12.5.45°或60°.∵tan2x-(3+1)tanx+3=0,即(tanx-1)(tanx-3)=0.∴tanx-1=0或tanx-3=0,∴tanx=1或tanx=3.∴x=45°或x=60°.6.45°.∵cota=1tana,∴tan2a+21tana=2.=0.∴(tan2a-1)2=0,即tan2a=1,∵a为锐角,∴tana=1,∴a=45°.7.2-3.如图,作AB的垂直平分线,交AB于E,交BC于D.∵∠ABC=15°,∴∠ADC=30°.设AC=x,则CD=3x,AD=2x.∴BD=2x,又BC=1,即2x+3x=1,∴x=2-3,∴AC长为2-3.B卷1.设x为锐角,且满足sinx=3cosx,则sinxcosx等于()A.16B.15C.29D.3102.已知sina.cosa=18,且45°a90°,则cosa-sina的值为()A.32B.-32C.14D.±323.sin6x+cos6x+3sin2xcos2x+4=_________.4.如图，△ABC中,∠A=30°,∠C-∠B=60°,BC=a,则AB=________.5.已知△ABC中,∠A、∠B是锐角,且sinA=513,tanB=2,AB=29cm,求△ABC的面积.a.5