第11课时等比数列的概念和通项公式(教学案)

免费精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品免费精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品1第11课时等比数列的概念和通项公式【学习导航】知识网络学习要求1．灵活应用等比数列的定义及通项公式；2．熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法；3．灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.【自学评价】1.等比数列的性质：（1）nmnmaaq（,mnN）；(2）对于k、l、m、n∈N*，若mnpq，则akal=aman.；（3）每隔k项（kN）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为等比数列；4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。2.(1)若{an}为等比数列，公比为q，则{a2n}也是等比数列，公比为q2.(2)若{an}为等比数列，公比为q(q≠－1),则{a2n－1+a2n}也是等比数列，公比为q2.(3)若{an}、{bn}是等比数列，则{anbn}也是等比数列.(4)三个数a、b、c成等比数列的，则02abcacb【精典范例】【例1】已知四个数前3个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数.【解】设所求四个数为qa2－aq，qa，aq，aq3由①得a2＝16∴a＝4或a＝－4由②得2a2q2－a2q4＝－128将a2＝16代入整理得q4－2q2－8＝0解得q2＝4∴q＝2或q＝－2因此所求的四个数为－4，2，8，32或4，－2，－8，－32.【点评】根据四个数前3个成等差，后三个成等比，列方程可利用a、q表示四个数，根据中间两数之积为16，将中间两个数设为qa，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便.【例2】若a、b、c成等比数列，试证：a2＋b2，ac＋bc，b2＋c2也成等比数列.【证明】由a、b、c成等比数列，则a·b·c≠0且b2＝ac(a2＋b2)(b2＋c2)＝(a2＋ac)(ac＋c2)＝ac(a＋c)2＝b2(a＋c)2＝(ab＋bc)2显然a2＋b2、b2＋c2都不等零，①②则由已知128)()2(16)()(3aqaqqqaqqa免费精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品免费精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品2且ab＋bc≠0∴a2＋b2，ab＋bc，b2＋c2成等比数列.【点评】证明数列成等比数列，可利用等比数列的定义，而证明三个数a，b，c成等比，可证明b2＝ac，要注意说明a、b、c全不为零.追踪训练一1．在等比数列{an}中，a1=81,q=2,则a4与a8的等比中项是(B)A.±4B.4C.±41D.412．在等比数列{an}中，已知a5=－2,则这个数列的前9项的乘积等于(B)A.512B.－512C.256D.－2563．2，x,y,z,162是成等比数列的五个正整数，则z的值等于(A)A.54B.27C.9D.34．已知｛an｝是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于(A)A.5B.10C.15D.205．已知等差数列｛an｝的公差d≠0,且a1，a3，a9成等比数列，则1042931aaaaaa的值为1613.【选修延伸】【例3】在na中，23,111nnaaa，试求na的通项na【解】设)(31nnaa则231nnaa可得＝1)1(311nnaa，}1{na为等比数列，首项为11a=2,公比为31321nna，1321nna【例4】在na中，3,111nnnaaaa，试求na的通项na【解】原式可变为：1311nnaa，可构造为)211(32111nnaa}211{na为等比数列，首项232111a，公比31323211nna，132nna【例5】在na中111132nnnaa，15,6a求｛na｝的通项na【解】法一：原式变形为：1232211nnnnaa，设)2(32211nnnnaa，免费精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品免费精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品3即3232211nnnnaa，3，即)32(323211nnnnaa，}32{nna为等比数列，首项321a＝34，公比321)32(3432nnna，nnna3223法二：设)2(31211nnnnaa，即1121331nnnaa3即)23(312311nnnnaa，}23{nna为等比数列，首项231a＝32，公比31，1313223nnna，nnna3223追踪训练二1．在等比数列｛an｝中，若a2·a8=36,a3＋a7＝15，则公比q值的可能个数为(D)A.1B.2C.3D.42．在各项都为正数的等比数列｛an｝中，若a5·a6＝9，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10等于(B)A.8B.10C.12D.2＋log353．已知一个直角三角形三边的长成等比数列，则(C)A.三边边长之比为3∶4∶5B.三边边长之比为1∶3∶3C.较小锐角的正弦为215D.较大锐角的正弦为2154．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为(C)A.1B.2C.3D.45．已知数列满足a1=87,且an+1=21an+31,n∈N*(1)求证{an－32}是等比数列.免费精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品免费精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品4(2)求数列{an}的通项公式.【解】(1)【证明】由an+1=21an+31得an+1－)32(2132na又an－32≠0∴2132321nnaa即，数列{an－32}构成等比数列.(2)由(1)知an－32=(a1－32)（21）n－1,且a1=87即an=(a1－)21)(32n－1+32=32)21(2451n=32)21(352n【师生互动】学生质疑教师释疑