《金融衍生品定价的数学模型和案例分析》简介

《金融衍生品定价的数学模型和案例分析》简介同济大学数学系姜礼尚期权（option）是一类金融衍生工具，但从更广义上讲，期权是一种未定权益（ContingentClaim），它是一种选择权；应用Black-Scholes-Morton期权定价原理，可以为多种不同形式的未定权益和选择权给出一个“公平”的估价。基于这个理念，我们认为期权定价原理的应用绝不仅限于期权本身的定价，而应更广泛地应用于金融、保险、财务、投资等各个不同领域。本书正是从这个思路出发，试图利用期权定价原理对当前市场上流行的一些金融和保险的创新产品进行定价。在这里我们把这些创新产品看成是相关标的资产(underlyingassets)：外汇、黄金、股指、公司资产和利率等的衍生物，基于无套利原理，得到一个风险中性的“公平”价格，它的定价强烈地依赖于相关标的资产的数学模型，虽然它只是一种近似，但对金融机构的实际定价具有重要的参考价值。本书可以看作是拙作“期权定价的数学模型和方法”(高等教育出版社，2003年)的应用篇，着重研究在已有定价模型和方法的基础上，针对各种金融和保险创新产品的具体实施条款，建立数学模型（即建立偏微分方程定解问题），求出它的闭合解或数值解，并进行定量分析，讨论一些金融参数和创新产品定价之间的依从关系。为了帮助更多读者掌握用偏微分方程方法研究Black-Scholes-Merton期权定价原理，我们专门写了“期权定价的偏微分方程模型和方法”一章放在附录中，供大家学习和参考。本书作为金融数学专业的教学用书和金融、保险、管理等领域的参考教材，它适用于两大类读者：第一类读者是应用数学专业的教师和研究人员，特别是广大攻读金融数学各类学位的研究生和本科生，第二类读者是金融、保险、管理等的从业人员，特别是正在从事金融和保险创新产品设计的金融（保险）分析师，金融（保险）机构的决策人员以及相关的研究工作者。我们深信本书将对他们的学习和研究有所裨益。本书中绝大部分内容都是我们同济大学数学系风险管理研究所的老师们和研究生们在最近三年内的研究成果，它从一个侧面反映了我们在应用数学理论解决实际问题的漫长道路上所做出的努力和尝试以及我们正在追求的目标。我们衷心希望本书能起到抛砖引玉的作用，能对Black-Scholes-Morton期权定价原理在这一领域的应用起到一点推动作用。我们真诚地希望，能得到数学届的同仁特别是金融和保险业界从业人员的批评和指正。2007年1月22日目录（部分）序言第一章跳扩散模型下的期权定价§1.1跳扩散模型§1.2期权定价的PDE模型§1.3期权定价公式第二章个人理财产品案例之一－一类与得利宝有关的理财产品的定价研究§2.1问题的提出得利宝之亚洲货币挂钩投资产品是中国交通银行上海分行于2005年11月28日推出一种投资保本型金融产品。它的条款内容是：客户将美元存入银行，银行拿这笔美元去投资另一货币或国债，另一货币是一篮子亚洲货币，篮子货币由日元(JPY)、韩元(KRW)、新加坡元(SGD)、泰株(THB)各占25%构成。投资者通过汇率的变动获取收益，其投资收益由固定收益和参与投资收益两部分构成，参与投资收益＝参与率×[(最终篮子货币值－最初篮子货币值)或零中较大者]，其中，参与率(参与篮子货币投资的比率)为50%，最初篮子货币值指的是交易本金，最终篮子货币值＝交易本金×(25%×JPY最初汇价/JPY最终汇价＋25%×KRW最初汇价/KRW最终汇价+25%×SGD最初汇价/SGD最终汇价+25%×THB最初汇价/THB最终汇价)。客户在到期日除了可获得保本的固定收益外，还可获得与亚洲一篮子货币相对美元升幅相挂钩的额外收益。这些一篮子货币升幅越高，客户所获得的收益就越高，即使出现最差情况，一篮子货币相对于美元全部走弱，投资者也可获得保本的收益。因此得利宝具有收益高、风险小、本金安全等特点。我们将得利宝条款中的投资收益稍作改变：假设到期日T，保本收益为K，参与投资收益为0(T)XXλ+−，总收益为0()TKXXλ++−，其中TX为T时刻的投资帐户资产值，0X为初始时刻投入的本金，我们认为这样的投资收益更合理，更符合投资者期望获得最大收益的心理。根据这些条款我们将建立这种与得利宝有关的理财产品的定价模型，它的模型是一个Hamilton-Jacobi-Bellman方程，并分析其解的性质，根据这个模型，一方面我们可以确定参数的值（K和λ），另一方面可以验证它的合理性。另外我们还将给出数值算法。为了简化问题，本文只讨论不可提前赎回的情况，对于可提前赎回的情况，模型相应为美式期权模型，另外还可以拓展研究多资产的类型。§2.2模型的建立§2.3解的性质分析§2.4数值计算§2.5实例附录参考文献第三章个人理财产品案例之二－券商集合理财产品的分析与定价§3.1问题的背景在当今金融服务激烈竞争的市场上，各种新型产品层出不穷。能夺得市场又能易于操作是新产品生存的必要条件。券商集合理财产品是近年出现的创新理财产品之一。该产品的正式名称是“集合资产管理计划”，其本质属于客户资产管理业务。券商拟订这种带有附加理财服务条款的计划，由投资者选择。一旦投资者选定计划，券商就接受了投资者的委托，为投资者提供服务，并将其资金投资于股票、债券等金融产品，并按计划所规定的方式回报投资者。简单的说，集合理财产品是加有特殊条款的风险资产的投资之集成。分析条款对管理计划的价值的影响是对该类产品研究的重点之一。集合资产管理计划分为限定性和非限定性两类。限定性集合资产管理计划按规定主要投资于票据、国债等固定收益类产品；而非限定性集合资产管理计划投资范围由集合资产管理合同约定，不受前款规定限制。除此之外，券商可以根据自己的理财目的以及对市场信息的把握等，灵活地制定适宜的条款。该类条款包括：隐性保本条款、定期开放条款、开放式计划中的封闭期条款、封闭期特别条款，管理人报酬与计划收益相挂钩等等。券商可以有选择性地采用以上或其它条款。例如，东方证券发行的东方红1号集合资产管理计划就中规定（[1]），管理者以10%的自有资金参与并承诺当收益低于预期时以此弥补投资者的部分损失，这就是所谓的隐性保本条款；计划成立第一年的最后五个工作日为开放日，即所谓的定期开放条款；当年收益少于2.25%时管理人不收取报酬，只有当年收益大于2.25%时管理人按比例提取报酬。在光大证券发行的光大阳光计划中（[2]），管理者也以10%的自有资金参与并承诺当收益低于预期时以此弥补投资者的部分损失；同时计划规定在一年的封闭期内，如果持续10个工作日计划收益达到或者超过6%时，提前结束封闭期。隐性保本条款在一定程度上降低了投资者的风险，增加的投资者的信心。封闭期特别条款满足了投资者对资金的流动性的要求。管理者报酬与计划收益相挂钩的条款具有激励性质，能激励管理者更好地管理计划。这样通过灵活地制定适宜的条款，集合资产管理计划集中了封闭式基金、开放式基金和券商传统理财产品的优点。因此，该类的集合资产管理计划对投资者来说有相当的吸收力。05年2月，光大证券的阳光集合资产管理计划获得中国证监会批准，成为第一个获准发行的集合理财产品。截止06年11月已经有22个集合理财计划相继成立，计划总规模将近300亿。限定性集合资产管理计划其投资范围类似于货币型基金，而非限定性集合资产管理计划投资范围可由合约确定，其中部分产品又以股票等风险资产为主要投资对象。其投资组合主要为一篮子风险资产，因此可以用几何布朗运动来刻画其净值过程。本节主要考察了以风险投资组合为对象的非限定性集合资产管理计划，对其保本条款、封闭期特殊条款对此类产品的定价所产生的影响进行了分析和讨论。在对该类条款进行适当的简化后，特别地，对其中两种情形用Black-Scholes模型的框架对其价值建立了数学模型，并给出了它们的定价方法和封闭解。这两种情形是：1.随机利率下固定封闭期的含隐性保本条款的情形，2.常数利率下有封闭期的特殊条款的情形。同时我们还分析了条款中佣金比例，自付比例以及承诺收益之间的关系，给出了公平原则下的表达式，并给出了近似和简化的算式以及和数值分析结果。§3.2模型的建立§3.3模型的简化与求解§3.4佣金比例，自付比例和承诺收益之间关系的讨论§3.5数值计算结果参考文献第四章个人理财产品案例之三－定期存款所含嵌入期权的定价§4.1基本假设定期存款可看成是含有嵌入期权的一张债券.因为它赋予投资人这样一种权利,即在到期日前随时可提前支取,并获得本金加上从存款日到支取日的活期利息.普通的国债则不具有这样的特性,一旦利率上升,它甚至有可能跌到面值以下.例如,一张面值为100元的2年期定期存款的年利率为2%,相应的2年期国债的年利率为2.4%,一年后,利率上升,一年期的国债年利率为4%,活期存款利息为1%,如果投资人提前支取并投资于一年期的国债,在到期日可得100,而持有定期存款在到期日仅可得104元.而从开始就持有2年期国债在到期可得104.86.因此,在市场上国债的利率一般要高于同期的定期存款利率.问题是银行如何根据市场上国债的价格确定合理的定期存款的利率水平.考虑到定期存款的利率水平一般不频繁变化,相应的问题是投资人如何根据现在的国债和定期存款的利率选择投资品种.认识到定期存款实际上是一张内含期权的债券对投资者是很重要的(11%)(14%)105.04×+×+=元§4.2问题的求解§4.3问题的参数的讨论§4.4结论参考文献第五章个人理财产品案例之四－收益与汇率变化范围挂钩的存款产品的定价§5.1引言近年来，随着我国经济市场化程度的加深，金融改革的步伐也不断加快.目前，各种外汇金融新产品的推出，部分满足了投资者理财需要和进出口企业的套期保值需求.这为今后人民币自由兑换后我国金融业的发展积累了经验，同时，又不会导致当前金融市场的不稳定.金融创新产品的设计是一项金融工程，要取得成功，首先要适合市场的需要，其次是要有合理的定价机制.本文以中国银行北京分行2004年03月推出的一款“澳元汇率日进斗金”理财产品为基础，讨论其设计和定价机制.这类产品一般期限较短（如6个月），银行事先设定名义投资收益率R（年率）和澳元兑美元汇率观察区间，到期时投资者的实际收益为/RnN×（为观察期内澳元兑美元处于观察区间内的实际天数，为观察期的实际天数）.即澳元兑美元汇率落入观察区间内的天数越多，客户收益越高.若投资期内，澳元兑美元汇率全部落入上述区间，则客户可获得nNR的年收益率；若投资期内，澳元兑美元汇率没有一天落入上述区间，则客户无法获得收益.通常，收益率R会明显高于同期的澳元定期存款和国债利率。当投资者对汇率走势有自己的判断或进出口企业有套期保值需要时，这类产品无疑是受欢迎的，同时银行也可利用它对本身的外汇头寸的风险暴露进行管理.我们可把这类产品视作具有连续到期日但收益押后支付的一系列二值期权（binaryoption）的组合，在汇率满足几何布朗运动条件下,对利息用两种不同货币支付的情况,用偏微分方程（PDE）的方法给出定价公式并进行了一些定性讨论.§5.2数学模型和求解§5.3以本币付息时的一些定性分析§5.4结论附录参考文献第六章个人理财产品案例之五－与黄金价格挂钩的存款理财产品§6.1问题的提出2003年10月11日银监会发布了1号令《金融机构衍生产品交易业务管理暂行办法》，并于2004年2月正式开始实施。该办法为国内的商业银行进入衍生产品市场指明了方向。国内已有四大国有银行、光大银行和民生银行等10多家股份制银行以及40多家外资银行拿到了衍生产品业务牌照[1]。银行间衍生产品交易有了稳定的发展。了解、熟悉和掌握这些产品的特点、定价、应用和风险管理对我国国内的金融产品的开发和增值业务的发展有着非常重要的意义。例如2005年1月中国银行上海分行推出了“汇聚宝”1号产品。该产品为一款保本型的欧元结构性存款理财产品，其浮动收益与国际金价的变化挂钩。如果在投资期间每盎司黄金价格一直都在410美元至435美元之间波动，到期日即可获得最高3.2%的年收益率。但如果黄金价格在此期间出现大幅波动，