第13讲和圆有关的角--

第十三讲和圆有关的角【趣题引路】1522年,德国人A.里泽出版了一本关于商业活动中计算的数学书,受到人们的普遍重视,他的知名度日益提高,但也有一些人不大服气.一天,一位职业绘图师利用自己的特长,向A·里泽提出挑战:“看谁在一分钟的时间内用直尺和圆规作出较多的直角”.A·里泽微笑着接受了挑战.比赛开始了,那位绘图师首先在纸上画下一条直线,然后用我们现在数学课上所用的作一条线段的垂直平分线的方法,熟练而又自如地交替使用直尺和圆规作出已知线段的垂线.显然,只需作出一条垂线,就可以得到四个直角,看起来,这位绘图师已稳操胜券.比赛结果A·里泽赢了,你知道A·里泽是怎样赢的吗?他作图的依据又是什么?解析A·里泽是这样作图的,首先在一条直线上任取一点为圆心作出一个半圆,然后,在半圆上任意取点,用直尺将其与直径的两端点相连即可得到一直角,(延长后就是四个直角)他作图的依据是“直径所对的圆周角是直角”.【知识延伸】与圆有关的角我们学习了圆心角、圆周角、弦切角以及它们的大小与它们所对（或夹）的弧的度数之间的关系.角的顶点和边与圆位置关系在运动和变化过程中也可能形成另外的两种角.如果角的顶点在圆内,则称这样的角为圆内角,如图1中所示的∠AEB即为圆内角.圆内角的大小究竟与弧有何关系呢?延长AE、BE分别交圆于C、D两点,再连结AD,则∠AEB=∠A+∠D.∵∠A的度数等于12CD,∠D的度数等于12AB,∴∠AEB的度数等于12(AB+CD).即圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两弧度数和的一半,其中圆心角是特殊的圆内角.EDCBAEDCBA（1）(2)如果角的顶点在圆外,且角的两边都与同一个圆相交,则称这样的角为圆外角,如图2所示,∠AEB即为圆外角,圆外角又有什么性质呢?连结AD,则∠E=∠CAD-∠D,∵∠CAD的度数等于12CD,∠D的度数等于12AB,∴∠E的度数等于12(CD-AB).即圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差的绝对值的一半.圆心角、圆周角、弦切角、圆内角和圆外角，弧是联系它们的中介，即“由角看弧，由弧看角”是促使它们互相转化的基本方法。例1在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合,向对方球门MN进攻.当甲带球冲到点A时,乙已随后冲到点B如图,此时,甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好?解析在足球比赛场上,甲、乙两名队员的情况会很复杂,这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑.过M、N以及A、B中的任一点作一圆,这里作出⊙BMN.显然,A在⊙BMN外,∠A是圆外角,设MA交圆于C,则∠MAN∠MCN=∠MBN.因此,在点B射门为好.点评如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小,当张角越大时,射中球门的机会就越大,这就是圆周角和圆外角在实际中的运用.例2已知:如图,△ABC内接于⊙O,∠A=60°,∠B=80°,E是BC上一点,F是AC的中点,求∠BEF的度数.解析∵∠C=∠AEB,∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-(60°+80°)=40°,∴∠AEB=40°.∵AFFC,∴∠ABF=12∠ABC=40°.又∵∠AEF=∠ABF=40°.∴∠BEF=∠AEB+∠AEF=80°.点评若所求的角是与圆有关的角,如圆心角、圆周角、弦切角、内接四边形的内角和外角，要设法利用相关的定理进行计算，若所求的角与圆无关，要设法转化为与圆有关的角去解决。【好题妙解】佳题新题品味例1已知,如图,点A、B、C在⊙O上,∠AOC=120°,∠BAC=45°,延长AB到D,使AB:BD=1:2,连结DC.求证:DC是⊙O的切线.解析∵∠BAC=45°,NMCBA∴∠COB=90°.设OB交AC于E,则∠EOA=∠EAO=∠OCA=30°,∴OE=AE,CE=2OE.∴AE:CE=1:2=AB:BD∴OB∥CD.∴∠OCD=90°,∴DC是⊙O的切线.点评充分利用圆周角∠BAC=45°与圆心角∠BOC=90°之间的关系,证明四条线段成比例得OB∥CD从而解决问题.例2如图,设P为正三角形ABC外接圆⊙O的劣弧BC上一点,AP交BC于点D.证明:PB、PC是方程x2-PAx+PA·PD=0的两个根.证明延长BP,作等边△PEC,在△APC和△BFC中,∵AC=BC,∠CAP=∠CBF,∠PCA=∠FCB,∴△APC≌△BFC.∴PA=BF=BP+PF=BP+PC.∵∠BAP=∠PCD,∠APC=∠APB,∠ABP=∠CDP,∴△ABP∽△CDP.∴有PAPBPCPD.∴PB·PC=PA·PD.∴PB、PC是方程x2-PAx+PA·PD=0的两个根.点评利用圆中的全等三角形,相似三角形证明几何命题,是最基石,最重要的一种方法,应当引起重视,本题证明PA=PC+PB时还可用托勒密定理证明.证明如下:∵四边形ABPC是圆内接四边形,∴AB·PC=AC·PB=BC·PA∵AB=BC=CA,∴PC+PB=PA得证.中考真题欣赏例(2003年黄冈市中考题)已知,如图13-7,C为半圆上一点,ACEC,过点C作直径AB的垂线CP,P为垂足,弦AE分别交PC,CB于点D,F.(1)求证:AD=CD;(2)若DF=54,tan∠ECB=34,求PB的长.解析(1)证明:连结AC,∵ACEC,∴∠CEA=∠CAE,∵∠CEA=∠CBA,∴∠CBA=∠CAE,∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∵CP⊥AB,∴∠CBA=∠ACP.∴∠CAE=∠ACP,∴AD=CD(2)解∵∠ACB=90°,∠CAE=∠ACP,∴∠DCF=∠CFD.∴AD=CD=DF=54,∵∠ECB=∠DAP,tan∠ECB=34,∴tan∠DAP=DPPA=34,∵DP2+PA2=DA2,∴DP=34,PA=1,∴CD=2.又∵∠ACB=90°,CP⊥AB,∴△APC∽△CPB.∴PAPCPCPB,∴PB=4.点评充分利用与圆有关的角,直角三角形中互余的角,便能迅速解决问题.竞赛样题展示例1(2001年全国初中数学竞赛“创新杯”广西赛区试题)如图,已知⊙O的两条半径OA与OB互相垂直,C为优弧AMB上的点,且BC2=AB2+OB2.求∠OAC的度数.解析设⊙O的半径为r,则AB=2r,于是BC=22ABOB=3r,以B为圆心,3r为半径作圆,与⊙O交于两点C,C′.连结BC,BC′,AC,AC′,延长OB交⊙O于点D.连结CD,则CD=22BDBC=r,即BD=2CD,∴∠CBD=30°.∵∠ACB=12∠AOB=45°,∴∠OAC=180°-∠ACB-∠ABC-∠BAO=180°-45°-75°-45°=15°.∴∠OAC′=∠OAC+∠CAC′=∠OAC+∠CBC′=15°+60°=75°.综上可得,∠OAC为15°或75°.点评C'OMDCBA为圆心,BC长为半径画圆交⊙O于C,C′,C点的位置确定了,从而使条件与结论互相靠拢,为解题创造了条件.一般地,几何图形中有半径或直径这一条件,常添加辅助线,使其构成直角三角形.例2(2002年江苏省第17届数学竞赛题)如图,⊙O为△ABC的外接圆,∠BAC=60°,H为边AC、AB上的高BD,CE的交点,在BD上取点M,使BM=CH.(1)求证:∠BOC=∠BHC;(2)求证:△BOM≌△COH;(3)求证:MH:OH的值.证明(1)∵∠BAC=60°,∴∠BOC=2∠BAC=120°,∠BHC=∠DHE=360°-(90°+90°+∠BAC)=120°,∴∠BOC=∠BHC;(2)∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.又∵∠BOC=120°,∴∠OBC=12(180°-120°)=30°.而∠HBC=90°-∠BCA,∴∠OBM=∠OBC-∠HBC=30°-(90°-∠BCA)=∠BCA-60°.又∵∠OCH=∠HCB-∠BCO=∠HCB-12(180°-120°)=∠HCB-30°,但∠HCA=90°-∠BAC=90°-60°=30°,∴∠OCH=∠HCB+∠HCA-30°-30°=∠BCA-60°,∴∠OBM=∠OCH.又∵BM=CH,OB=OC,∴△BOM≌△COH;(3)由(2)得OH=OM,且∠COH=∠BOM,从而有∠OHM=∠OMH,∠MOH=∠BOC=120°,∠OHM=12(180°-120°)=30°.在△OMH中,作OP⊥MH,P为垂足,则OP=12OH,由勾股定理,得(12MH)2=OH2-OP2=OH2-(2OH)2;MH:OH=3.点评本题主要是通过对圆中角的灵活转化来达到解题的目的.HPOMEDCBA如图,O是AB、AC的垂直平分线的交点,∠A=37°.求∠OCB的度数.OCBA2.O是△ABC的外心,∠BOC=130°,求∠A的度数.3.如图,四边形ABCD内接于以AD为直径的⊙O,且AD=4cm,AB=BC=1cm,求CD的长.ODCBA4.如图,△ABC内接于⊙O,AH⊥BC于H,求证:OA.AH=12AB·AC.HOCBA如图,△ABC的顶点A、B在⊙O上,⊙O的半径为R,⊙O与AC交于点D,如果点D既是AB的中点,又是AC的中点.(1)求证:△ABC是直角三角形.(2)求2ADBC的值.ODCBA6.如图13-14,△ABC内接于⊙O,BC=4,S△ABC=63,∠B为锐角,且关于x的方程x2-4xcmB+1=0有两个相等的实数根,D是劣弧AC上任一点(点D不与点A,C重合),DE平分∠ADC,交⊙O于点E,交AC于点F.(1)求∠B的度数.(2)求CE的长;(3)求证:DA、DC的长是方程y2-DEy+DE·DF=0的两个实数根.OFEDCBA如图,∵O是AB、AC的垂直平分线的交点,∴O为△ABC的外接圆的圆心,作△ABC的外接圆圆O,连OB,∵∠A=37°,∠O=74°,又OC=OB,∴∠OCB=∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-74°)÷2=53°.2.如图,分两种情况进行讨论.(1)当O在△ABC内部时,∠A=12∠BOC=12×130°=65°;(2)当O在△ABC外部时,由∠BOC=130°,得劣弧BC的度数为130°,则BAC的度数=360°-130°=230°,∴∠A=115°,∴∠A=65°或115°.3.如图,连结OB、AC,设OB交AC于点H,∵AB=BC,OB⊥AC.设OH=x,则BH=2-x,在Rt△OAH中,AH2=OA2-OH2=22-x2=4-x2,①在Rt△HAB中,AH2=AB2-BH2=12-(2-x)2,②由①、②得4-x2=1-(2-x)2,∴x=74.∵OB⊥AC,DC⊥AC,∴OH∥CD.又∵OA=OD,∴CD=2OH=2×74=72。4.延长AO交⊙O于M,连结BM.∵AM为⊙O的直径,∴∠ABM=90°.又∵∠M=∠C,∴△ABM∽△ACH,∴,∴AB.AC=AM.AH.ABAMAHAC，∵AM=2AO,∴OA·OH=12AB·AC.5.如图,(1)作直径DE,交⊙O于E,交AB于F.∵D为BA的中点,∴AB⊥DE,AF=BF.∵AD=DC,∴DF∥BC,即AB⊥BC,OCBAA'OCBAHODCBAOFEDCBA∴△ABC为直角三角形.(2)连结AE,∵DE为⊙O的直径,∴∠DAE=90°,而且AB⊥DE,∴△ADF∽△EDA.∴ADDFDEAD,∴AD2=DE·DF.∵DE=2R,DF=12BC,∴AD2=2R·12BC,∴AD2=R·BC,∴2ADB