第15讲导数在函数中的应用

第15讲导数在函数中的应用1.(2012·广东韶关市调研)函数y＝xex的最小值是(C)A．－1B．－eC．－1eD．不存在解析：y′＝ex＋xex，令y′＝0，则x＝－1.当x＜－1时，y′0；当x＞－1时，y′0，所以x＝－1时，ymin＝－1e，故选C.2.(2012·安徽省“江南十校”3月联考)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则下列叙述正确的是(C)A．f(b)f(c)f(d)B．f(b)f(a)f(e)C．f(c)f(b)f(a)D．f(c)f(e)f(d)解析：观察函数f(x)的特征图象可知函数f(x)在区间(－∞，c]上单调递增，由于a＜b＜c，所以f(c)f(b)f(a)，故选C.3.(2012·山东省潍坊市三县10月联考)函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝(D)A．2B．3C．4D．5解析：因为f′(x)＝3x2＋2ax＋3，且f(x)在x＝－3时取得极值，所以f′(－3)＝3×9＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5，故选D.4.(2012·江苏省南京市、盐城市第一次模拟)函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)的单调减区间为(－2，－1).解析：f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex(x∈R)，令f′(x)0，则x2＋3x＋20，解得－2x－1，即所求的单调减区间为(－2，－1)．5.(2012·重庆市七校二次联考)函数y＝f(x)在定义域(－32，3)内的图象如图所示．记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为[－13，1]∪[2,3).解析：因为导函数f′(x)≤0为函数f(x)的减区间，所以根据函数图象易知f′(x)≤0的解集为[－13，1]∪[2,3)．6.(2012·山西省六所名校第一次质检)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足fxgx＝ax，且f′(x)g(x)f(x)·g′(x)，f1g1＋f－1g－1＝52，则a的值是12.解析：令F(x)＝fxgx，则F(x)＝f′xgx－fxg′x[gx]2＜0，所以函数F(x)在R上是减函数，于是0a1.则由f1g1＋f－1g－1＝52，得a＋1a＝52，解得a＝12.7.(2012·四川省自贡市第一次诊断)下列图象中，有且只有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导数f′(x)的图象，则f(－1)的值为－13.解析：由f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a－1)(x＋a＋1)，且a≠0，所以导函数f′(x)的图象开口向上，且对称轴不是y轴，因此其图象就为第三个，所以由f′(x)的图象与x轴的交点为原点与y轴右侧的点可得a＝－1，所以f(－1)＝－13－1＋1＝－13.8.(2012·泉州四校二次联考)设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为[12，32]上的单调函数，求a的取值范围．解析：因为f′(x)＝ax2－2ax＋1ex1＋ax22.(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝12，x2＝32.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，12)12(12，32)32(32，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)递增极大值递减极小值递增由表可知，x1＝12是极大值点，x2＝32是极小值点．(2)记g(x)＝ax2－2ax＋1，则g(x)＝a(x－1)2＋1－a.因为f(x)为[12，32]上的单调函数，则f′(x)在[12，32]上不变号．因为ex1＋ax220，所以g(x)≥0或g(x)≤0在x∈[12，32]上恒成立，由g(1)≥0或g(12)≤0，得0a≤1或a≥43，所以a的取值范围是0a≤1或a≥43.9.(2012·山东聊城市五校期末联考)已知函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的最值；(2)求函数f(x)的单调区间．解析：(1)函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)的定义域是(1，＋∞)．当a＝1时，f′(x)＝2x－1－1x－1＝2xx－32x－1，所以f(x)在(1，32)上为减函数，在(32，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)的最小值为f(32)＝34＋ln2.(2)f′(x)＝2x－a－ax－1＝2xx－a＋22x－1，若a≤0时，则a＋22≤1，f(x)＝2xx－a＋22x－10在(1，＋∞)恒成立，所以f(x)的增区间为(1，＋∞)．若a0，则a＋221，故当x∈(1，a＋22]，f′(x)＝2xx－a＋22x－1≤0，当x∈[a＋22，＋∞)时，f(x)＝2xx－a＋22x－1≥0，所以a＞0时，f(x)的减区间为(1，a＋22)，f(x)的增区间为[a＋22，＋∞)．