第16讲一元一次不等式的应用

第16讲一元一次不等式的应用一、学习目标1.能列一元一次不等式解决实际问题.2.能从不等式的解集中选取适合实际意义的特殊解.考情分析构建一元一次不等式模型解决实际问题是中考中的重要考点，一般在解答题中考查，有时单独考查，大多情况是与方程（组）或函数等知识综合考查.二、基础知识·轻松学列一元一次不等式解决实际问题，步骤同列方程解决实际问题的步骤类似，有以下步骤：（1）审：审清题意和其中的数量关系，弄清已知数、未知数，找出题中的相等关系、不等关系.（2）设：设出未知数.（3）列：根据不等关系列不等式.（4）解：解一元一次不等式，求出未知数的取值范围.（5）验：先检验所得的解集是不是所列不等式的解集；再检验所得解集是否符合实际意义，注意根据实际意义的要求，确定实际问题的解.（6）答：写出答案.注意答案中必须写清单位名称.三、重难疑点·轻松破1.列一元一次不等式解决实际问题列一元一次不等式解决实际问题要注意以下几点（1）审题时，既要找不等关系，也要找相等关系.寻找不等关系的关键是找到表示不等关系的关键字词，表示不等式关系的关键词有“大于”，“小于”，“不大于”，“不小于”，“超过”，“低于”，“不足”，“至多”等.（2）设未知数既可直接设未知数，也可以间接设未知数，其原则是：使列不等式简单.若题中存在两个及以上未知量，可将其中的一个设为未知数，并利用相等关系用未知数表示其它未知量.设未知数要表明其代表的意义，并写清单位名称.（3）解出所列的一元一次不等式后，常常需从解集中选取符合实际意义的特殊解.例1某中学的高中部在A校区，初中部在B校区，学校学生会计划在3月12日植树节当天安排部分学生到郊区公园参加植树活动，已知A校区的每位高中学生往返车费是6元，每人每天可栽植5棵数，B校区的每位初中学生往返的车费是10元，每人每天可栽植3棵数，要求初高中均有学生参加，且参加活动的初中学生比参加活动的高中学生多4人，本次活动的往返车费总和不超过210元，要使本次活动植树最多，初高中各有多少学生参加，最多植树多少棵？解析：题中存在等量关系“初中学生人数=高中学生人数＋4人”，存在不等关系“初中学生车费＋高中学生车费≤210元”，由相等关系可设高中生有x人，则初中生为（x＋4）人；由不等关系可列出不等式，求得初、高中人数的取值范围，进而解决问题.设参加活动的高中生有x人，则初中生为（x＋4）人，依题意，得6x＋10（x＋4）≤210.16x≤170，x≤10.625.所以参加活动的高中学生最多为10人，初中学生最多为10+4=14（人）.由题意知，参加植树活动的高中学生人数越多，植树数目越多.因此当高中学生为10人,植树最多.最多植树：5×10＋3（10＋4）＝92（棵）.答：应安排高中学生10人，初中学生14人，最多可植树92棵．点评：理解题意，从中找到所有的相等与不等关系是解答此类题的关键.变式1：（2013年广东茂名）某小区计划购进A、B两种树苗，已知1株A种树苗和2株B种树苗共20元，且A种树苗比B种树苗每株多2元．（1）求A、B两种树苗每株各多少元；（2）若购买A、B两种树苗共360株，并且A种树苗的数量不少于B种树苗数量的一半，请你设计一种费用最省的购买方案．2.设计可行方案问题主要包括两种情况：一是直接根据一元一次不等式的解集确定可行性方案.二是根据两函数之间的大于、等于、小于三种情况分别列方程或不等式，通过解方程或不等式确定可行性方案.例2某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；（2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．分析：（1）按照题中的等量关系列出函数关系式即可；（2）按12yy，12yy，12yy三种情况讨论即可；（3）结合（2）的结论及实际情况进行分析.解：（1）设按优惠方法①购买需用1y元，按优惠方法②购买需用2y元1(4)5204560,yxx2(5204)0.94.572yxx．（2）设12yy，即5604.572xx，解得x＞24.所以x＞24．当x＞24整数时，选择优惠方法②．同理可求得，当x=24时，选择优惠方法①，②均可．所以当4≤x＜24整数时，选择优惠方法①．（3）因为需要购买4个书包和12支水性笔，而12＜24，购买方案一：用优惠方法①购买，需5x+60=5×12+60=120元；购买方案二：采用两种购买方式，用优惠方法①购买4个书包，需要204=80元，同时获赠4支水性笔；用优惠方法②购买8支水性笔，需要8590%36元．共需80+36=116元．显然116120．所以最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔．点评：此题（1）问列函数关系式，要注意理清数量关系，若题目未设出自变量及函数，还要根据情况自己设出；在解决（2）问时，要注意分三种情况讨论，能根据两函数之间的相等或不等关系列方程或不等式；在（3）问中，要注意结合实际情况灵活设计购买方案.变式2：甲，乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超过部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．3.设计最优方案问题此类问题一般先设计可行性方案，再进一步设计最优方案.设计可行性方案一般利用不等关系构建不等式模型，由其解及实际情况的限制条件确定可行性方案；进一步确定最优方案，有两种方法，若情况较少，可分类讨论得到最优方案；也可以列函数解析式，利用函数在自变量取值范围的增减性确定最优方案.例3服装店欲购甲、乙两种新款运动服，甲款每套进价350元，乙款每套进价200元，该店计划用不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服，且甲款运动服至少订购11套.（1）该店订购这两款运动服，共有哪几种方案？（2）若该店以甲款每套400元，乙款每套300元的价格全部出售，哪种方案获利最大？解析：（1）本题中存在不等式关系“进货款≤8000元”和等量关系“甲款套数+乙款套数=30套”，利用等量关系可将一个未知量设为未知数，并用未知数表示出另一未知量；利用不等关系可列不等式.根据不等式组的解及实际问题中的限制条件：购买套数只能是正整数可确定可行性方案.设该店订购甲款运动服x套，则订购乙款运动服30x套，由题意，得350200(30)8000xx.解这个不等式，得403x.因为x为整数，且x≥11，所以x取11，12，13.所以30－x取19，18，17.答：该店订购这两款运动服，共有3种方案.方案一：甲款11套，乙款19套；方案二：甲款12套，乙款18套；方案三：甲款13套，乙款17套.（2）分类讨论三种可行性方案的获利，便可确定最优方案.三种方案分别获利为：方案一：（400－350）×11+（300－200）×19＝2450（元）方案二：（400－350）×12+（300－200）×18＝2400（元）方案三：（400－350）×13+（300－200）×17＝2350（元）因为2450＞2400＞2350，所以方案一即甲款11套，乙款19套，获利最大.点评：此题先列不等式求出未知数的取值范围，再利用未知数必须是整数的实际限制条件确定未知数的有限个整数解，进而设计出可行性方案.在可行性方案的基础上设计最优方案.变式3（2012黑龙江龙东）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区．现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：运往地车型甲地（元/辆）乙地（元/辆）大货车720800小货车500650（1）求这两种货车各用多少辆？（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为W元，求出W与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．四、课时作业·轻松练A.基础题组1.某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打()A.6折B.7折C.8折D.9折2.某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x(张)满足的不等式为________．3.某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题.答对一题记10分，答错（或不答）一题记5分.小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对道题.4.（2013年浙江台州）某校班际篮球联赛中,每场比赛都要胜负,每队胜1场得3分,负1场得1分,如果某班在第一轮的28场比赛中至少得43分,那么这个班至少要胜多少场？5.玩具商店根据市场调查，用2500元购进50件儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？6.某商场5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？B.提升题组7.（2013年黑龙江龙东）今年某校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱去购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购买笔记本的方案共有多少种()A.3B.4C.5D.68.某商品的标价比成本高25%，当商品降价销售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过.9.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆．其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元．（1）符合公司要求的购买方案有哪几种？请说明理由．（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元．假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金收入不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？10.某校社会实践小组在中国学生营养日这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题．（1）求这份快餐中所含脂肪质量；（2）若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；（3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．11.甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的电器，但是各自推出的优惠方案不同．甲商场规定：凡购买超过1000元电器的，超出的金额按90%实收；乙商场规定：凡购买超过500元电器的，超出的金额按95%实收．顾客怎样选择商场购买电器能获得更大的优惠？中考试题初体验12.(2013新疆乌鲁木齐）某次知识竞赛