第17讲多边形的概念及内角和w

第17讲多边形的概念知识方法扫描在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。如果延长多边形的任一条边，整个多边形都在这条延长边的一侧，那么这样的多边形就叫做凸多边形。下面所说的多边形一般指凸多边形。n边形的内角和是（n-2）·180，任意多边形的外角和等于360°。n边形的两个不相邻的顶点的连线叫做n边形的对角线，n边形有21n(n-3)条对角线.经典例题解析例1（1986年北京市初中数学竞赛试题）长为4的线段分成4小线段，以这四小线段为边可以作成一个四边形，则其中每一小段必须满足的条件是（A）不大于1（B）大于21或小于1（C）小于2（D）大于21且小于1解设x为四小线段中的任意一段，则为4-x其余三段之和，由于两点之间，线段最短，有4-xx，解得：x2,故应选C例2（第13届“五羊杯”初中数学邀请赛试题）一个多边形一共有14条对角线，则它的内角和为________.解一个n边形，从一个顶点出发，有(n-3)条对角线，共有21n(n-3)条对角线(因为每条对角线被计算了两次)，于是有21n(n-3)=14，从而n(n-3)=28，因为7×4=28，故n=7.所以，这个三角形的内角和为(7-2)·180°=900°.例3．（2001年山东省初中数学竞赛试题）在凸n边形中，小于108°的角最多可以有（）(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个解：设凸n边形中，小于108°的角有x个。当多边形的一个内角小于108°时，它的外角大于72°，而任意多边形的外角和等于360°，故有72x360,解得x5,故小于108°的角最多可以有4个。故选B。评注利用多边形外角和为360°的结论来解题，是处理与多边形有关的问题的常用的思路和方法。例4（杭州市第三届“求是杯”初二学生数学竞赛试题）一凸n边形最小的内角为95°,其它内角的度数依次增加10°,则n=.解这个凸n边形的内角由小到大依次为95°,105°,115°,125°，…于是它的外角由大到小依次为85°,75°,65°,55°,45°,35°.而这六个外角之和85°+75°+65°+55°+45°+35°=360°.所以n=6.例5（2004年浙江富阳市初一数学竞赛试题）如图，已知AB∥ED，∠C＝o90，∠ABC＝∠DEF，∠D＝o130，∠F＝o100，求∠E的大小。解：延长DC、AB交于G∵ED∥AB，∠D＝o130∴∠G＝o50又∵∠BCD＝o90，∠BCD＝∠G＋∠CBG∴∠CBG＝o40∴∠ABC＝o140即∠E＝o140例6(1991年南京市初中二年级数学竞赛试题)如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=().(A)100°(B)120°(C)150°(D)180°ABCDEFG解连接AC，FE。则有∠G+∠D=∠CAD+∠GCA，∠EFC+∠AEF=∠EAC+∠ACF=（∠EAD+∠CAD）+（∠GCF+∠GCA）=（∠EAD+∠GCF）+（∠CAD+∠GCA）=（∠EAD+∠GCF）+（∠G+∠D）。∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（∠EAD+∠GCF）+（∠G+∠D）+∠B+（∠AEB+∠CFB）=（∠EFC+∠AEF）+∠B+（∠AEB+∠CFB）=（∠EFC+∠CFB）+（∠AEB+∠AEF）+∠B=∠EFB+∠FEB+∠BABCDEFABCDEFG=180°故选（D）ABCDEFG例7（2002年第13届“希望杯”数学邀请赛试题）如图，在四边形ABCD中，E,F分别是两组对边延长线的交点，EG,FG分别平分∠BEC,∠DFC，若∠ADC=60°,∠ABC=80°，则∠EGF的的大小是（）(A)140°(B)130°(C)120°(D)110°NBECFGDA因为ABC是ABF的外角，所以AFGAFBFAB28080同理AEGEAD260又EADFAB所以10AEGAFG设EB与FG相交于N，则在△ENG中，,180ANGAEGG又FABAFGANG所以180FABAFGAEGG即oAFGAFGAEGG180280。故选（D）。于是,11080180AEGAFGGo例8（1996年第7届“希望杯”数学邀请赛培训题）有一个凸11边形，它是由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠，无间隙拼成的。求此凸11边形的各内角的大小，并画出一个这样的凸11边形的草图。思路设凸十一边形的内角中有60°,90°,120°,150°的个数分别为x,y,z,s.列出它们满足的关系式，并求出x,y,z,s的值。解设此凸十一边形的各个内角中有x个60°,y个90°,z个120°,s个150°，依题意有)2(180)211(1501209060)1(11szyxszyx由(1)得s=11-x-y-z代入(2)化简得3x+2y+z=1因为x,y,z均为非负整数，所以x=y=0,z=1故s=10.则这个凸十一边形有一个角是120°,有十个内角都是150°.草图如下：原版赛题传真同步训练一选择题1．(1993年武汉市初二数学竞赛试题)一个凸n边形的n个内角中，锐角的个数最多有（）。(A)3个(B)4个(C)5个(D)不能确定1．A如果多边形有4个锐角，则它们的外角都是钝角，其和大于360°，与多边形外角和为360°矛盾。2．（2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题）如下图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）.(A)360°(B)450°(C)540°(D)720°2.C如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，而∠BMN+∠FNM=∠D＋180°,故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.3．（1991年第一届长江杯数学通讯赛试题）凸八边形的内角中,钝角个数为m,锐角个数为n,则().(A)mn(B)mn(C)m=n(D)mn,mn,m=n都有可能3．B凸八边形最多只能有3个内角是锐角或直角，否则它的外角和大于360°，所以它至少有5个钝角，mn.4．(全英中级数学竞赛IMC试题)如图所示，若干全等正五边形排成环状，图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需要多少个五边形？（A）6（B）7（C）8（D）9(E)104．B正五边形的内角是108°，因此由五边形内角所构成的正多边形的内角是360°-2×108°=144°。这个正多边形的外角是180°-144°=36°，因此它有360°÷36°=10条边。故还需要7个五边形。5．（2008年武汉市初中数学竞赛试题）如图，将六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使点A,B落在六边形CDEFGH的内部，则下列结论一定正确的是()（A）∠1+∠2=900°-2(∠C+∠D+∠E+∠F)（B）∠1+∠2=1080°-2(∠C+∠D+∠E+∠F)（C）∠1+∠2=720°-(∠C+∠D+∠E+∠F)（D）∠1+∠2=360°-21(∠C+∠D+∠E+∠F)NMABCDEFG5.B设FA的延长线与CB的延长线相交于P,GA`的延长线与HB`的延长线相交于P`,由对称性知，∠1=2∠APP`,∠2=2∠BPP`,∴∠1+∠2=2∠APB又∠APB=540°-(∠C+∠D+∠E+∠F)∴∠1+∠2=1080°-2(∠C+∠D+∠E+∠F)二填空题6．（2005年天津市初中数学竞赛试题）如果一个凸n边形恰有4个内角是钝角，那么这个多边形的边数n最多为．6．7．因为凸行边形恰有4个内角是钝角，所以这4个内角之和大于360°，且小于720°．而另外的n-4个内角是直角或锐角，则这n-4个内角之和不大于（n-4）×90°，且大于O°，于是有不等式.90)4(720180)2(0360nn解得4n8。故边数n最多为7．7．（1999年江苏省第14届初中数学竞赛试题）一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中，的字母表示相应的度数，若c=60（度），则d+e的值为（度），x的值为（度）7．220，20．从已知条件可得:c=60,2a+d=180,2b+e=180,a+b=70,2f+x=180,c+d+e+f=360,∴d+e=220,f=80,x=20.8．（2008年第6届创新杯全国数学邀请赛7年级试题）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=n×90°,则n=ADFBCE8．4．连接EF易知∠A+∠D=∠DFE+∠AEF，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于四边形BCEF的内角和，为360°,所以n=4。ADFBCE9．（1988年天津市第二届《中华少年》杯初二数学邀请赛试题）一个凸n边形的n个内角与某一个外角的总和为1988°，则n=________.9.13.设这个外角为x度，180(n-2)+x=1988,x=2348–180n,注意到0x180,于是02348–180n,180,解得4521345212n因n为整数，故n=13。10．（1991年南京市初中二年级数学竞赛试题）若凸4n+2边形A1A2......A4n+2(n为自然数)的每个锐角都是30°的整数倍,且∠A1=∠A2=∠A3=90°,则n所有可能的值是________.10．1．除了3个直角外，其余4n-1个角每个最大为150°,最小为30°，它们的外角和3×90°+(4n-1)·300°与3×90°+(4n-1)·15°之间，所以3×90°+(4n-1)·30°≤360°≤3×90°+(4n-1)·150°解得0.4≤n≤1,但n是整数,所以n=1三解答题11．（1994年北京市初二数学竞赛试题）如图，∠A1=∠A2=∠A3=∠A4=∠A5=135º,∠A6=∠A8=90º,如果我们称大于180º的角为“优角”，试确定优角∠A7的度数.A1A2A3A4A5A6A8A711．设∠A7=x度，5×135+2×90+x=(8-2)·180,x=225.即∠A7=225º。12．（1997-1998学年度天津市初二数学竞赛预赛试题）如图，ABCD是凸四边形，AB=2,BC=4,CD=7,求线段AD的取值范围。ABCD12．设AD=x,则有7-(4+2)x7+4+2,解得1x13。13．（1988年天津市第2届“中华少年杯”初二数学竞赛试题）对角互补的四边形ABCD中,两组对延长后分别交于P,Q两点,∠P,∠Q的平分线交于M,求证:PM⊥QM.CAPQMDB13．设ABC=x°,则ADC=(180-x)°,因为ABC是ABP的外角，所以APMxAPBxPAB2同理AQMxQAD2)180(又QADPAB,所以)90(xAQMAPM设QB与PM相交于N，则在△QNM中，,180ANMAQMM又PABAPMANM所以180PABAPMAQMM即oAPMxAPMAQMM1802。于是,90180AQMAPMxMo故PM⊥QM.。NCAPQMDB14．（1999年北京市初二数学竞赛试题）如图，已知CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝124°，∠E＝80°，求∠F的大小。CDAFBE14．如图，延长CD与FE的延长线交于H，延长CB与FA的延长线交于GAFCD//，56124180G，345690180BAG由已知，,BAFCDE34HDE，,4634100180oH13446180F。15．（1998年日本第7届算数奥林匹克试题）把一个多边形沿着几条直线剪开，分割成若干个多边形。分割后的多边形的边数总和比原多边形的边数多13条，内角