第1讲圆周运动中常见的模型及应用

1第1讲圆周运动中常见的模型及应用第一部分知识点一常见模型之一1．火车转弯如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供rvmmg2tantangrv,v增加，外轨挤压，如果v减小，内轨挤压2．圆锥摆sintan2lmmg3．圆锥问题tantancossin22rgrgrmNmgN典型例题：例1列车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法中正确的是：（）①当以速度v通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力②当以速度v通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘侧弹向力的合力提供向心力③当速度大于v时，轮缘侧向挤压外轨④当速度小于v时，轮缘侧向挤压外轨A.①③B.①④C.②③D.②④例2用细线吊着一个小球，使小球在水平面内做半径为R匀速圆周运动；圆周运动的水平面距离悬点h，距离水平地面H．若细线突然在A处断裂，求小球在地面上的落点P与A的水平距离．例3小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。NmgNmg2针对性练习：1．在高速公路的拐弯处，路面要造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧要高一些，路面与水平面的夹角为θ，设拐弯路段为半径为R的圆弧，要使车速为V时车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，θ应等于…………（）A.B.C.D.2．如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是()A．VAVBB．ωAωBC．aAaBD．压力NANB3．如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自己为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动，若男运动员的转速为30转/分，女运动员触地冰鞋的线速度为4.7m/s。g取10m/s2。求：（1）女运动员做圆周运动的角速度及触地冰鞋做圆周运动的半径；（2）若男运动员手臂与竖直夹角600，女运动员质量50kg，则男运动员手臂拉力是多大？4．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图14所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ,不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.5．如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？BA3知识点二常见模型之二1．汽车过拱桥rvmNmg2cosmgsinθ=f如果在最高点，那么rvmNmg2此时汽车不平衡，mg≠N说明：F＝mv2/r同样适用于变速圆周运动，F和v具有瞬时意义，F随v的变化而变化。补充：rvmmgN2(抛体运动)2．绳杆球（1）如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用v临界＝Rg②能过最高点的条件：v≥Rg，当v＞Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。③不能过最高点的条件：v＜v临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。（2）如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力①能过最高点v临界＝0，此时支持力N＝mg②当0＜v＜Rg时，N为支持力，有0＜N＜mg，且N随v的增大而减小③当v＝Rg时，N＝0④当v＞Rg，N为拉力，有N＞0，N随v的增大而增大3．临界情况问题典型例题：1．如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是（）R绳图1v0vR图2vOR杆图3bOa图44A．a处为拉力，b处为拉力B．a处为拉力，b处为推力C．a处为推力，b处为拉力D．a处为推力，b处为推力2．汽车以恒定的速率v通过半径为r的凹型桥面，如图6-8-4所示，求汽车在最低点时对桥面的压力是多大？3．如图，质量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m，小杯通过最高点的速度为4m/s，g取10m/s2,求：(1)在最高点时，绳的拉力？(2)在最高点时水对小杯底的压力？(3)为使小杯经过最高点时水不流出,在最高点时最小速率是多少?4．如图5-4-6所示，细绳一端系着质量为M=0.6kg的物体，静止在水平面上.另一端通过光滑的小孔吊着质量为m=0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N.现使此平面绕中心轴转动.问角速度ω在什么范围内M处于静止状态？（g取10m/s2）针对性练习：1．长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图5所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m／s，g取10m／s2，则此时细杆OA受到（）A．6.0N的拉力B．6.0N的压力C．24N的拉力D．24N的压力2．一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的圆形轨行，如图6-8-7所示，经过最低点的速度为v，物体与轨道之间的动摩檫因数为μ，则它在最低点时受到的摩檫力为：（）A．μmgB．μmv2/RC．μm(g+v2/R)D．μm(g-v2/R)OMmr图（5-4-6）ALOm图553．一辆质量m=2.0t的小轿车，驶过半径R=90m的一段圆弧形桥面，重力加速度g=10m／s2．求：(1)若桥面为凹形，汽车以20m／s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大?(2)若桥面为凸形，汽车以l0m／s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大?(3)汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力4．一辆载重汽车的质量为4m,通过半径为R的拱形桥，若桥顶能承受的最大压力为F=3mg，为了安全行驶，汽车应以多大的速度通过桥顶？5．如图所示，小球沿光滑的水平面冲上一人光滑的半圆形轨道，轨道半公式为R，小球在轨道的最高点对轨道压力等于小球的重力，问（1）小球离开轨道落到距地面R/2处，小球的水平位移是多少？（2）小球落地时速度为多大？6．A、B两球质量分别为m1与m2，用一劲度系数为K的弹簧相连，一长为l1的细线与m1相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO`上，如图所示，当m1与m2均以角速度w绕OO`做匀速圆周运动时，弹簧长度为l2。求：（1）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？（2）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？6第二部分课后练习：1．如图所示，一个小球沿竖直固定的光滑圆形轨道的内侧做圆周运动，圆形轨道的半径为R，小球可看作质点，则关于小球的运动情况，下列说法错误的是（）A．小球的线速度方向时刻在变化，但总在圆周切线方向上B．小球通过最高点的速度可以等于0C．小球线速度的大小总大于或等于RgD．小球通过最高点的速度可以等于02．小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。（小球的半径远小于R）3．如图所示,在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1g的小球,试管的开口端加盖与水平轴O连接.试管底与O相距5cm,试管在转轴带动下沿竖直平面做匀速圆周运动.求：(1)转轴的角速度达到多大时,试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍.(2)转轴的角速度满足什么条件时,会出现小球与试管底脱离接触的情况?g取10m/s2.4．在水平转台上放一个质量为M的木块，静摩擦因数为μ，转台以角速度ω匀速转动时，细绳一端系住木块M，另一端通过转台中心的小孔悬一质量为m的木块，如右图所示，求m与转台能保持相对静止时，M到转台中心的最大距离R1和最小距离R2.R