第1讲数列的概念与简单表示法

第28讲数列的概念与简单表示法探究点一根据数列的前几项求数列的通项公式例1(1)[2012·漳州六校联考]已知数列{an}：32，1，710，917，…，则可作为数列{an}的通项公式的是()A．an＝n－1n2＋1B．an＝n＋1n2＋1C．an＝2n＋1n2＋1D．an＝2n－1n2＋1(2)[2012·朝阳二模]在如图5－28－1所示的数表中，第i行第j列的数记为ai，j，且满足a1，j＝2j－1，ai，1＝i，ai＋1，j＋1＝ai，j＋ai＋1，j(i，j∈N*)，则此数表中的第2行第7列的数是________；记第3行的数3，5，8，13，22，39，…为数列{bn}，则数列{bn}的通项公式是________________．第1行1248…第2行2359…第3行35813………图5－28－1变式题(1)[2012·南开中学模拟]下列可作为数列{an}：1，2，1，2，1，2，…的一个通项公式的是()A．an＝1B．an＝（－1）n＋12C．an＝2－sinnπ2D．an＝（－1）n－1＋32(2)数列12，14，－58，1316，－2932，6164，…的一个通项公式是________．探究点二由递推关系式求通项公式例2(1)[2012·郑州质检]已知数列{an}满足a1＝33，且an＋1－ann＝2，则ann的最小值为()A．9.5B．10.6C．10.5D．9.6(2)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝13an－1＋13n(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为()A．an＝3nn＋2B．an＝n＋23nC．an＝n＋2D．an＝(n＋2)3n变式题(1)[2012·沈阳一模]已知数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝1n（n－1）(n≥2)，则a16＝________．(2)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________．探究点三由数列的前n项和Sn求通项公式an例3[2012·漳州三校联考]已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Tn＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1，求Tn.变式题各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且点(an，Sn)在函数y＝12x2＋12x－3的图像上，求数列{an}的通项公式．探究点四数列的函数特征例4[2012·北京怀柔区二模]定义：对于任意n∈N*，满足条件an＋an＋22≤an＋1且an≤M(M是与n无关的常数)的无穷数列{an}称为T数列．(1)若an＝－n2＋9n(n∈N*)，证明：数列{an}是T数列；(2)设数列{bn}的通项为bn＝50n－32n，且数列{bn}是T数列，求常数M的取值范围．变式题已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n(n∈N*)．(1)求{an}的通项公式；(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？思想方法9化归转化思想在求数列通项中的应用例[2012·大连二模]已知数列{an}满足a1＝12，an－1－an＝anan－1n（n－1）(n≥2)，则该数列的通项公式an＝________．课时作业(A)[第1讲数列的概念与简单表示法](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[教材改编试题]数列{an}：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是()A．an＝(－1)n＋12n－1n2＋n(n∈N＋)B．an＝(－1)n－12n－1n2＋3n(n∈N＋)C．an＝(－1)n＋12n－1n2＋2n(n∈N＋)D．an＝(－1)n－12n＋1n2＋2n(n∈N＋)2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．643．已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝1－1an，则a16＝()A．2B．3C．－1D.124．[2012·信阳模拟]已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a100的值是()A．9900B．9902C．9904D．11000能力提升5．[2011·四川卷]数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．44D．44＋16．[2012·牡丹江一中期中]已知Sn是非零数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－1，则S2012等于()A．1－22011B．22012－1C．22011－1D．1－220127．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则a3a5的值是()A.1516B.158C.34D.388．[2012·天津调研]已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝()A．－55B．－5C．5D．559．[2012·浙江名校联考]数列{an}前n项和为Sn，则“a20”是“数列{Sn}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．在数列{an}中，a2＝4，其前n项和Sn满足Sn＝n2＋λn(λ∈R)．则实数λ的值等于________．11．在数列{an}中，若a1＝3，且对任意的正整数p，q都有ap＋q＝ap＋aq，则a8＝________．12．[2012·惠州调研]已知数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式anan－1＝n－1n(n≥2)给出，则a10等于________．13．[2012·邯郸模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N﹡.则bn＝________．14．(10分)[2013·开封一中月考]已知a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)，求：(1)a2，a3，a4，a5；(2)an.15．(13分)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝1log3an·log3an＋1，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn1.难点突破16．(12分)[2012·课程标准卷改编]数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，设Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，求S60的值．课时作业(B)[第1讲数列的概念与简单表示法](时间：45分钟分值：100分)1．[2011·阜阳质检]数列{an}：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是()A．an＝(－1)n＋12n－1n2＋n(n∈N＋)B．an＝(－1)n－12n＋1n3＋3n(n∈N＋)C．an＝(－1)n＋12n－1n2＋2n(n∈N＋)D．an＝(－1)n－12n＋1n2＋2n(n∈N＋)2．[2010·安徽卷]设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．643．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则a3a5的值是()A.1516B.158C.34D.384．[2011·沈阳模拟]已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝1－1an(n∈N*)，则a16＝________.能力提升5．[2011·福州质检]把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图K27－1)．则第7个三角形数是()图K27－1A．27B．28C．29D．306．[2011·太原模拟]已知Sn是非零数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－1，则S2011等于()A．1－22010B．22011－1C．22010－1D．1－220117．已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a100的值是()A．9900B．9902C．9904D．110008．已知数列{an}中，a1＝1，1an＋1＝1an＋3(n∈N*)，则a10＝()A．28B．33C.133D.1289．[2011·黄冈中学模拟]已知数列{an}的通项an＝nanb＋c(a，b，c∈(0，＋∞))，则an与an＋1的大小关系是()A．anan＋1B．anan＋1C．an＝an＋1D．不能确定10．[2011·朝阳二模]已知数列{an}满足a1＝2，且an＋1an＋an＋1－2an＝0(n∈N*)，则a2＝________；并归纳出数列{an}的通项公式an＝________.11．[2011·淮南一模]已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n－1，则a1＋a3＋a5＋…＋a25＝________.12．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则数列{an}的通项公式为________________________________________________________________________；数列{nan}中数值最小的项是第________项．13．[2011·永州四中模拟]一同学在电脑中打出如下若干个圆(图中●表示实心圆，○表示空心圆)：●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2013个圆中，空心圆的个数为________．14．(10分)在2011年10月1日的国庆阅兵式上，有n(n≥2)行、n＋1列的步兵方阵．(1)写出一个数列，用它表示当n分别为2,3,4,5,6，…时方阵中的步兵人数；(2)说出(1)题中数列的第5、6项，并用a5，a6表示；(3)把(1)中的数列记为{an}，求该数列的通项公式an＝f(n)；(4)已知an＝9900，问an是第几项？此时步兵方阵有多少行、多少列？(5)画出an＝f(n)的图象，并利用图象说明方阵中步兵人数有可能是56,28吗？15．(13分)[2011·蚌埠调研]已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝2an＋1，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的单调性；(3)当n≥2时，T2n＋1－Tn15－712loga(a－1)恒成立，求a的取值范围．难点突破16．(1)(6分)[2011·浙江卷]若数列nn＋423n中的最大项是第k项，则k＝________.(2)(6分)[2010·湖南卷]若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列{(an)*}．例如，若数列{an}是1,2,3，…，n，…，则数列{(an)*}是0,1,2，…，n－1，….已知对任意的n∈N*，an＝n2，则(a5)*＝________，((an)*)*＝________.