湖北省宜昌一中2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

第1页（共17页）2015-2016学年湖北省宜昌一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A=，则A∩B=（）A．（e，4）B．[e，4）C．[1，+∞）D．[1，4）2．函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π3．下列函数是幂函数的是（）A．y=x4+x2B．y=10xC．y=D．y=x+14．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形5．如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f{f[f（2）]}=（）A．0B．2C．4D．66．已知，则sinα的值为（）A．B．C．D．7．已知a＞1，函数y=ax与y=loga（﹣x）的图象只可能是（）第2页（共17页）A．B．C．D．8．对整数n≥3，记f（n）=log23•log34…logn﹣1n，则f（22）+f（23）+…+fA．55B．1024C．54D．10009．f（x）是奇函数，对任意的实数x，y，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0，则f（x）在区间[a，b]上（）A．有最小值f（a）B．有最大值f（a）C．有最大值D．有最小值10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=m（0＜m＜A）的三个相邻交点的横坐标分别为3，5，11，则f（x）的单调递减区间是（）A．[8k，8k+4]，k∈ZB．[8kπ，8kπ+4]，k∈ZC．[8k﹣4，8k]，k∈ZD．[8kπ﹣4，8kπ]，k∈Z11．已知α＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意实数x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）成立，则a的取值范围是（）A．B．（0，1）C．（1，+∞）D．12．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴非负半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|=r（r＞0），定义sicosθ=，称“sicosθ”为“正余弦函数”．对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到如下结论：①该函数的图象与直线y=有公共点；②该函数的一个对称中心是；③该函数是偶函数；第3页（共17页）④该函数的单调递增区间是．以上结论中，所有正确的序号是（）A．①②③④B．③④C．①②D．②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在区间[2，+∞）上具有单调性，则实数k的取值范围是．14．=．15．工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．某班级想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的中心角为120°，外圆半径为60cm，内圆半径为30cm．则制作这样一面扇面需要的布料为cm2（用数字作答，π取3.14）．16．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数{x}=x﹣[x]，则方程2016x+=0的实数解的个数是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．计算：（1）sin（2）已知=3，求的值．18．已知函数f（x）=sin2x+2x，x∈R．（1）求函数f（x）的值域；（2）y=f（x）的图象可由y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？写出你的变换过程．19．已知函数f（x）=b•ax（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（1）求f（x）的表达式；第4页（共17页）（2）设函数g（x）=f（x）﹣2×3x，求g（x+1）＞g（x）时x的取值范围．20．已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作：y=f（t），下表是某日各时的浪高数据：t（时）03691215182124y（米）1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，y=f（t）的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b（A＞0，ω＞0）（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式（2）依据规定，当海浪高度高于1.25米时才对冲浪爱好者开放，则一天内的上午8：00至晚上24：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？21．已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求证；（3）若，，求f（a）的值．22．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|）（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（log2k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）定义在[p，q]上的一个函数m（x），用分法T：p=x0＜x1＜…＜xi＜…＜xn=q将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和式恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，试判断函数f（x）是否为在[1，3]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．（参考公式：…+f（xn））第5页（共17页）2015-2016学年湖北省宜昌一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A=，则A∩B=（）A．（e，4）B．[e，4）C．[1，+∞）D．[1，4）【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中lnx≥1=lne，得到x≥e，即A=[e，+∞），由＜2，得到0＜x＜4，即B=（0，4），则A∩B=[e，4），故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，故选B．【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．3．下列函数是幂函数的是（）A．y=x4+x2B．y=10xC．y=D．y=x+1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的定义判断即可．【解答】解：由函数的定义知：A是四次函数，B是指数函数，第6页（共17页）C是幂函数，幂函数x前面的系数必须为1，D是一次函数，故选：C．【点评】本题考查函数的定义，解题时要认真审题，仔细解题．4．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】作图题．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，即可得解【解答】解：∵在四边形ABCD中，若，且共起点∴由向量加法加法的平行四边形法则知，线段AC是以AB、AD为邻边的平行四边形的对角线∴四边形ABCD是平行四边形故选D【点评】本题考查向量的加法．共起点的两个向量相加时满足平行四边形法则；首尾相接的两个向量相加时满足三角形法则；多个向量相加时满足多边形法则．属简单题5．如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f{f[f（2）]}=（）A．0B．2C．4D．6【考点】函数的值．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】结合函数的性质和图象求解．【解答】解：∵函数f（x）的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），∴f（2）=0，f[f（2）]=f（0）=4，f{f[f（2）]}=f（4）=2．故选：B．第7页（共17页）【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．6．已知，则sinα的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意和诱导公式，结合二倍角公式可得．【解答】解：∵，∴sin（﹣）=，∴sinα=cos（α﹣）=1﹣2sin2（﹣）=，故选：D．【点评】本题考查三角函数公式的应用，涉及整体思想和二倍角公式，属基础题．7．已知a＞1，函数y=ax与y=loga（﹣x）的图象只可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．第8页（共17页）【分析】根据y=ax是增函数，函数y=loga（﹣x）的定义域为（﹣∞，0），且在定义域内为减函数，从而得出结论．【解答】解：已知a＞1，故函数y=ax是增函数．而函数y=loga（﹣x）的定义域为（﹣∞，0），且在定义域内为减函数，故选B．【点评】本题主要考查函数的定义域、单调性，函数的图象，属于基础题．8．对整数n≥3，记f（n）=log23•log34…logn﹣1n，则f（22）+f（23）+…+fA．55B．1024C．54D．1000【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】化简已知条件，代入所求的表达式化简求解即可．【解答】解：对整数n≥3，记f（n）=log23•log34…logn﹣1n=log2n，f（22）+f（23）+…+ff（x）是奇函数，对任意的实数x，y，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0，则f（x）在区间[a，b]上（）A．有最小值f（a）B．有最大值f（a）C．有最大值D．有最小值【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质判断函数的单调性即可．【解答】解：设x1＜x2，则设x1﹣x2＜0，此时f（x1﹣x2）＞0，∵f（x）是奇函数，则即f（x1﹣x2）=f（x1）+f（﹣x2）＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，则f（x2）＜f（x1），即f（x）单调递减；则函数f（x）在区间[a，b]上为减函数，则最大值为f（a），故选：B．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=m（0＜m＜A）的三个相邻交点的横坐标分别为3，5，11，则f（x）的单调递减区间是（）A．[8k，8k+4]，k∈ZB．[8kπ，8kπ+4]，k∈ZC．[8k﹣4，8k]，k∈ZD．[8kπ﹣4，8kπ]，k∈Z【考点】正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三个点的横坐标判断f（x）的周期和对称轴，求出ω，φ，得到f（x）的解析式，结合正弦函数的单调性列出不等式解出．【解答】解：∵f（x）=Asin（ωx+φ）与y=m的三个相邻交点横坐标分别为3，5，11，∴f（x）的周期T=11﹣3=8，且f（4）=A，f（8）=﹣A，∴ω=，φ=﹣．∴f（x）=Asin（），第9页（共17页）令+2kπ≤≤+2kπ，解得4+8k≤x≤8+8k，k∈Z．故选：C．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题．11．已知α＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意实数x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）成立，则a的取值范围是（）A．B．（0，1）C．（1，+∞）D．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0，可得f（x）在R上为增函数，运用单调性的定义可得a﹣1＞0，（a﹣1）•0+3a﹣4≤a0，解不等