第1部分专题四第一讲预测演练提能

11．(2013·长春调研)一个简单几何体的正(主)视图、俯视图如图所示，则其侧(左)视图不可能是()A．正方形B．圆C．等腰三角形D．直角梯形解析：选D当几何体是一个长方体，其中一个侧面为正方形时，A可能；当几何体是一个横放的圆柱时，B可能；当几何体是横放的三棱柱时，C可能；只有D不可能．2．(2013·陕西检测)如图是由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，其中小立方体中的数学表示相应位置的小立方体的个数，则该几何体的侧(左)视图为()解析：选C由俯视图知侧(左)视图从左到右能看到的小立方体的个数分别为2,3,1.3．(2013·湖南高考)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正(主)视图的面积不可能等于()A．1B.2C.2－12D.2＋12解析：选C由题可知正方体的底面与水平面平行，先把正方体正放，然后将正方体按某一侧棱逆时针旋转，易知当正方体正放时，其正(主)视图的面积最小，为1×1＝1；当正方体逆时针旋转45°时，其正(主)视图的面积最大，为1×2＝2.而2－121，所以正方体的正(主)视图的面积不可能等于2－12.4．(2013·洛阳模拟)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()2A．64＋32πB．64＋64πC．256＋64πD．256＋128π解析：选C依题意，该几何体是一个正四棱柱及一个圆柱的组合体，其中正四棱柱的底面边长是8，侧棱长是4，圆柱的底面半径是4，高是4，因此所求几何体的体积等于π×42×4＋82×4＝256＋64π.5．(2013·东城检测)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．75＋210B．75＋410C．48＋410D．48＋210解析：选B由三视图可知该几何体是一个四棱柱．两个底面的面积之和为2×4＋52×3＝27，四个侧面的面积之和为(3＋4＋5＋10)×4＝48＋410，故表面积为75＋410.6．(2013·广东高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：选DA中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．7．(2013·山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所3示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()A．45，8B．45，83C．4(5＋1)，83D．8,8解析：选B由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S侧＝4×12×2×5＝45，V＝13×22×2＝83.8．(2013·江西高考)一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π解析：选A这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长、宽、高分别为6＋2＋2＝10,1＋2＋1＝4,5；上半部分是一个横放的半圆柱，其中底面半径为62＝3，母线长为2，故V＝10×4×5＋12π×32×2＝200＋9π.9．(2013·辽宁五校联考)已知三边长分别为3,4,5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P­ABC的体积为()A．5B．10C．20D．30解析：选A取点P在平面ABC上的射影O，则OP＝OA＝OB＝OC＝R，又因为S△ABC＝12|AB|·|AC|·sinC，由正弦定理可得sinC＝|BC|2R，故12|AB|·|AC|·sinC＝|AB|·|AC|·|BC|4R＝6，解得R＝52，故VP­ABC＝13S△ABC·R＝5.410．已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②解析：选C由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③.二、填空题11．(2013·湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)解析：圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V＝13πh(r2中＋r2下＋r中r下)＝π3×9×(102＋62＋10×6)＝588π，降雨量为V142π＝3×196π196π＝3.答案：312．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：根据三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个三棱锥的组合体，如图所示，且EA⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，则有FD＝4，AE＝2，AD＝DC＝4，FD∥EA，所以F和D到平面AEB的距离相等，且为4，故VF­BAE＝13×S△BAE×AD＝13×12×4×2×4＝163，VF­ABCD＝13×S四边形ABCD×FD＝13×4×4×4＝643，则该几何体的体积为163＋643＝803.5答案：80313．(2013·长春三校调研)在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知AA′⊥平面ABC，AA′＝2，BC＝23，∠BAC＝π2，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的体积为________．解析：依题意可知，球心到平面ABC的距离为12AA′＝1，平面ABC所在圆的半径为12BC＝3，则球的半径为12＋32＝2，则球的体积为43×π×23＝32π3.答案：32π314．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O­ABCD的体积为322，底面边长为3，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．解析：过O作底面ABCD的垂线段OE，则E为正方形ABCD的中心．由题意可知13×(3)2×OE＝322，所以OE＝322，故球的半径R＝OA＝OE2＋EA2＝6，则球的表面积S＝4πR2＝24π.答案：24π15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2，高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533.答案：53316．已知三棱锥P­ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，PO⊥6平面ABC，ACBC＝3，则三棱锥与球的体积之比为________．解析：如图，依题意，AB＝2R，又ACBC＝3，∠ACB＝90°，因此AC＝3R，BC＝R，VP­ABC＝13PO·S△ABC＝13×R×12×3R×)R＝36R3，而V球＝4π3R3，因此VP­ABC∶V球＝36R3∶4π3R3＝3∶8π.答案：3∶8π