第22节导数的运算

1第2.2节导数的运算微积分教学设计教学札记教学对象：财经类，管理类等专业教学内容：导数的四则运算法则、基本初等函数的导数、复合函数、反函数和隐函数的导数、对数求导法则、多元复合函数和隐函数求偏导法则、一元（二元）函数的高阶（偏）导数教学目的：掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则和对数求导法、掌握一元（二元）复合函数及隐函数求（偏）导法则、了解高阶（偏）导数的概念、会求简单的高阶（偏）导数教学方法：利用多媒体进行启发式教学教学重点：一元（二元）复合函数及隐函数求（偏）导法则教学难点：复合函数及隐函数求（偏）导法则、高阶（偏）导数教学过程1函数四则运算的求导法则定理2.2.1设函数)(xu和)(xv在点x处可导，则函数)()(xvxu，)()(xvxu以及)()(xvxu)0)((xv在x处也可导，且（1）)()(])()([xvxuxvxu（2）)()()()(])()([xvxuxvxuxvxu（3）)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu)0)((xv推广：若有限个函数)(1xu，)(2xu，…，)(xun在x处都可导，则)()()(])()()([2121xuxuxuxuxuxunn])()()([21xuxuxun=)()()(21xuxuxun+)()()(21xuxuxun)()()(21xuxuxun特别地：)(])([xvcxcv)()()(2xvxvcxvc例2.2.1设)(xu和)(xv在点x处可导，ba,为常数，求函数)()(xbvxauy的导数。例2.2.2设)1,0(logaaxya，求y教学心得2例2.2.3设2sin2xxy，求y。例2.2.4设xytan，求y。类似地，可以求得下面的公式xxxxxxxxcotcsc)(csc,tansec)(sec,csc)(cot2例2.2.5设xexyxsin12，求y。例2.2.6设二元函数4ln),(22xyyxyxfz，求：xz，yz.例2.2.7设2222)(yxyxxyz，求)1,1(xz及)1,1(yz.2复合函数的求导法则定理2.2.2设函数)(xu在0x处有导数)(0x，函数)(ufy在点)(00xu处有导数)(0uf，那么复合函数)]([xfy在点0x处可导，且有：)()(})]([{000xufxfxx链式法则：由于0x的任意性，只要)(x和)(uf存在，那么就有：)()]([)()(})]([{xxfxufxf也可以写成dxdududydxdy或xuxuyy当复合次数比较多时，也有类似的结果。例如：)(),(),(xvvuufy，若)(),(),(xvuf都存在，则有xvuvuyxvufdxdvdvdududydxdy)()()(复合函数的求导法则常被称作“链式法则”，在使用这一法则时，要从外层向内层逐层求导，不要遗漏，也不要重复。在对每一层函数求导数时，要特别注意它是对哪一个变量求导，然后这个变量作为函数再对下一个变量求导，直到求出对x的导数来。例2.2.9设||logxya，,1,0aa求y。例2.2.10设,0,xxy为实数，求y。例2.2.11设)ln(22xaxy，求y。例2.2.12设函数)(xf可导，22)]([xxfy，求dxdy。定理2.2.3设),(),,(yxvyxu在),(yx处的偏导数存在，而函数),(vufz的偏导数在),(yx的对应点),(vu处连续，则复合函数)],(),,([yxyxfz在点),(yx处的偏导数存在，且xvvfxuufxzyvvfyuufyz例2.2.13设xyyxz)(，求xz，yz.例2.2.14设yxvxyuvuz2),sin(),ln(，求xz，yz.教学札记教学心得3例2.2.15设2,sin),ln(xvxuvuz，求dxdz.例2.2.16设),,(xyzxyxfQ，且f有一阶连续偏导数，求此函数的全部偏导数。此处tffvffuff321,,.这种用数字表示字母的方法在求有多个中间变量的函数的偏导数时显得更加简洁。3其他常用的求导法则利用复合函数的求导法则，还可以推导出一些与复合函数有关的其他常见函数的求导法则。（1）隐函数求导法则)(xfy形式的函数称为显函数；以方程0),(yxF的形式确定的函数称为隐函数。有的隐函数可以写成显函数，象05xey确定的隐函数就可以写成)5ln(xy；而有些隐函数不能写成显函数，例如02xyexy确定的隐函数就不能写成显函数。在求隐函数的导数时，先是在方程0),(yxF的两端同时对x求导数，并注意y是x的函数，y的函数)(y是x的复合函数。对)(y求导时要用复合函数求导法。然后经整理变形求出y。在解出的y中允许含有y。例2.2.17求圆422yx上点)2,2(处的切线方程。例2.2.18设,0)sin(22xyyx求y.对于以0),(yxF确定的隐函数)(xfy，还可以利用二元函数求出导数y.即：若二元函数),(yxFz存在连续的偏导数，则当0yF时，有yFxFFFdxdyyx.注意：此方法中x和y均是自变量，在求xF时，y应看成常量。类似地，对于由0),,(zyxF所确定的二元隐函数),(yxFz，若),,(zyxFW存在连续的偏导数，且0zF，则有公式：zFxFxz，zFyFyz.例2.2.19已知5222xzzyxy，求xz，yz.（2）反函数求导法则若)(xfy有反函数)(yx，且)(y的导数0)(y，有dydxdxdy1.例2.2.20求函数xyarcsin的导数y.例2.2.21求函数xyarctan的导数y。教学札记教学心得4类似地可得：1||,11)(arccos2xxxxxx,11)cotarc(2例2.2.22用反函数求导法则求函数xay（1,0aa）的导数y.（3）对数求导法则以上这两种方法都用到了对数的性质，故称之为对数求导法。对于形如)()]([xvxuy（称为幂指函数）的函数求导，这种方法是有效的。一般地，先进行变形：（1）)(ln)()()]([xuxvxvexu，然后按复合函数求导；（2）)(ln)(lnxuxvy，然后按隐函数求导。例2.2.23设)0(xxyx，求y。例2.2.24设xxysin)1(，求y.例2.2.25设xyyx，求y.由于对数运算的特殊性，可以将乘除运算转化为加减运算，因而对于表达式中有连乘或连除因子的函数可用对数求导法求导。例2.2.26设)4)(3()2)(1(5xxxxy，求y.4基本导数公式（见书122页）5高阶导数定义2.2.1如果函数)(xfy的导函数)(xf在x处可导，则称导函数的导数])([xf为)(xf的二阶导数，记为)(xf或y.也可记为22dxyd，22dxfd.与二阶导数相类似，我们可以定义函数的三阶导数])([)(xfxf，四阶导数])([)()4(xfxf，…，n阶导数])([)()1()(xfxfnn.n阶导数也记为)(ny，nndxyd或nndxfd.二阶及三阶以上的导数统称为高阶导数。若)(xf的n阶导数存在，则称)(xf是n阶可导。例2.2.27设5432xxy，求y.一般地，若nnnnaxaxaxP110)(，则).,1(0)]([,!)]([)(0)(ZkkxPnaxPknnnn例2.2.28设xysin，求,3,2,1,)(sin)(nxn.类似地有)2cos()(cos)(nxxn.用同样归纳的方法还可以求出)1()()(!)1(1);0()(nnnxnnxxnxeennnnxnxx)!1()1(1)(ln1)1()(教学札记教学心得5例2.2.29设vu,都是x的二阶可导函数，求)(vu.例2.2.30设exyey，求)0(y.注本例中因为求的是)0(y，所以可以不必整理出y和y的表达式。如果二元函数),(yxfz的两个偏导数xz和yz对x和y的偏导数存在，则称xz和yz对x和y的偏导数为),(yxfz对x和y的二阶偏导数。显然，二元函数的二阶偏导数共有四个，用记号表示为xxxxzffxzxzx1122，xyxyzffyxzxzy122yxyxzffxyzyzx212，yyyyzffyzyzy2222其中xyzyxz22,称为混合二阶偏导数。可以证明，当xyzyxz22,均在点),(yx连续时，xyzyxz22.当然，二元函数),(yxfz的二阶偏导数仍有可能对x和y求偏导数，得到),(yxfz的八个三阶偏导数。例如,,23223322yxzxzyxzxzx例2.2.31设)ln(yxxz，求其二阶偏导数。例2.2.32设),(yxfz由方程yzzxln所确定，求yxzyzxz2,,.例2.2.33设),(yxxezxy，其中),(vu具有二阶偏导数，求yxz2.例2.2.34设函数2),,(yzezyxfx，其中),(yxzz是由三元方程0xyzzyx确定的函数，求)1,1,0(xf.教学札记教学心得