第23讲不变量原理

让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)131第23讲不变量原理有一句容易记住的话：如果有重复，寻找不改变的东西！——A·恩格尔大千世界在不断地变化着，既有质的变化，更有量的变化。俗话说：“万变不离其宗”。在纷乱多样的变化中，往往隐藏着某种规律，这就需要我们透过表面现象，找出事物变化中保持不变的规律，从“万变”中揭示出“不变”的数量关系。寻求某种不变性，在科学上称之为守恒，在数学上就是不变量。从某种意义上说，现代数学就是研究各种不变量的科学。20世纪最重大的数学成就之一——阿蒂亚-辛格(Atiyah-Singer)指标定理，就是描述某些算子的指标不变量。影响遍及整个数学的陈省身示性类（Chernclass），正是刻画许多流形特征的不变量。一些代数不变量、几何不变量、拓扑不变量的发现，往往是一门学科的开端。经典例题解析让我们通过一个简单例子来揭示不变量原理。例1在某部落的语言中一共只有两个字母：A和B，并且该语言具有以下性质：如果从单词中删去相连的字母AB，则词义保持不变。或者说：如果在单词中的任何位置增添字母组合BA或AABB，则词义不变。试问，能否断言单词ABB与BAA词义相同？解应当注意：在保持词义不变的各种增或删的变化之中，A与B总是增删同样的个数。因此这些变化不会改变单词中两种字母的个数之差。例如在如下一串“保义变化”中B始终比A多一个：BBBABAABBBABABBA。回到原来的问题：在单词ABB中，B比A多一个；而在单词BAA中，B却比A少一个！因此我们不能断言：这两个单词同义。上述解答用实例说明了不变量原理运用的主要思路。我们面对某些对象，对于它们可以进行一定类型的操作，在操作之后便提出了这样的问题：能否由一种对象变为另一种对象？为了回答这个问题，我们构造出某种量，这种量在所作的操作之下保持不变。如果这种量对于所言的两个对象是不同的，那么便可给予所问的问题以否定的回答。例210名乒乓球运动员参加循环赛,每两名运动员之间都要进行比赛.在循环赛过程中,1号运动员获胜x1次,失败y1次;2号运动员获胜x2次,失败y2次,等等.求证:x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.证明每个运动员共比赛9场,其获胜与失败总数和为9,即xi+yi=9(1=i=10).既然每场比赛一些运动员获胜,另一些运动员要失败,那么x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10,从而(x12+x22+…+x102)-(y12+y22+…+y102)=(x12-y12)+…+(x102-y102)=9[(x1+x2+…+x10)-(y1+y2+…+y10)]=0所以x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.例3从数组3,4,12出发，每一步可以选其中两个数,ab，并把它们换成0.60.8ab以及0.80.6ab。问：是否能在有限步后达到目标4,6,12？让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)132解由于2222(0.60.8)(0.80.6)ababab，故经过多次替换后所得3个数,,abc的平方和是一个不变量：2222222341213,abc而由于2222461214,这目标不能达到。222()(4)(6)(12)1bxyz。目标不能达到。评注这里的不变量是点(,,)abc到点O的距离，即点(,,)abc总在以O为中心，半径为13的球面上，而由于2222461214,目标在以O为中心半径为14的球面上，这目标不能达到。1.不变量——奇偶性例4一个圆分为6个扇形（图115）。每个扇形中放有一枚棋子。每一步允许将任何两枚棋子分别移入相邻的扇形。试问，能否通过这种操作，把6枚棋子全都移到一个扇形之中？图115图116图117解将6个扇形依次编为1至6号（图116）。对于棋子的任何一种分布，我们考察6枚棋子所在扇形的号码之和S。例如，在如图117所示的分布中，我们有22445623S。显然，在把一枚棋子移到相邻的扇形中后，它在S中的那一项的奇偶性发生了变化。这也就是说，如果同时移动两枚棋子，那么S的奇偶性保持不变——这是一个不变量！但是一开始时（图115），我们有21S，为奇数。而如果所有6枚棋子全都在一个扇形之中，则当该扇形编号为A时，就有6SA，都为偶数。所以我们不可能通过所述的移动，把棋子的分布从原来的分布变为全在一个扇形中。点评由于奇偶性是整数的固有属性，因此可以说奇偶性是一个整数的不变性，对于某些问题，找出了不变性就找出了解答。比如，例3通过考察和S的奇偶性不变，使问题得以顺利解决。2.不变量——余数例5某海岛上生活着45条变色龙，其中有13条灰色的，15条褐色和17条紫色的。每当两条颜色不同的变色龙相遇时，它们就一起都变为第三种颜色（例如，灰色和褐色相遇，就都变为紫色）。能否经过一段时间，45条变色龙全都变为同一颜色？解每一次变化，都有两条不同颜色的变色龙消失，并随之而“诞生”两条让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)133第三种颜色的变色龙。我们用数组(,,)abc表示变色龙的状况，其中,,abc分别表示灰色、褐色和紫色变色龙的数目。于是由题意知，在一次变化之后，(,,)abc或变为(1,1,2)abc，或变为(1,2,1)abc，或变为(2,1,1)abc。我们发现，灰色和褐色变色龙的数目之差的变化只能为0,3和3。这就是说：该差被3除的余数保持不变，这是一个不变量。在开始时，有13152ab。而如果全都变为同一颜色，则必0(mod3)ab。故为不可能。例6有3部卡片打印机。第一部能根据原有卡片上的号码(,)ab，打印一张号码为(1,1)ab的卡片；第二部则当原号码(,)ab中二数皆为偶数时，打印一张号码为(2,2)aa的卡片；第三部根据两张号码分别为(,)ab和(,)bc的卡片，打印一张号码为(,)ac的卡片。打印过后，原有卡片和新卡片全都归顾客所得。试问，能否利用这3部打印机，由一张卡片为(5,19)的卡片得到号码为(1,1988)的卡片？解从题目的外形看，给定了允许的操作方式内容，要求我们回答：能否从一种卡片出发得到另一种卡片——这就提醒我们，应当找到不变量。就让我们开始找吧！第一种操作：(,)(1,1)abab。在这种操作之下，什么东西未加改变呢？那么当然是卡片上的两个号码之差：(1)(1)abab。但是在第二种操作之下，这种号码差却是变化的：22()2abab—减半。而第三种操作使得两张卡片上的号码差相加：()()acabbc。这种状况使我们看到：号码差并非不变量。那么，究竟什么是不变量呢？看来我们一时难以找到。还是让我们来仔细观察一下吧。先来碰碰运气，看看从我们的卡片可以得到一些什么样的卡片吧！(1)(5,19)(6,20);(2)(6,20)(3,10);(3)(3,10)(20,27);(4)(6,20)(20,27)(6,27).暂时到此为止。我们来看看我们的劳动果实吧！我们现在有一组卡片，算一算它们之上的号码差，得：14，14，7，7，21。由此立即可以猜出我们所要证明的结论，这就是：号码差应当恒为7的倍数。其证明十分简单，只要再次回顾一下三种操作之下，号码差的变化规律即可（见上面的讨论）。现在注意到，在卡片(1,1988)上，这个号码差却为198811987，它不是7的倍数。可见我们得不让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)134到这样的卡片。毫无疑问，在运用不变量解题时，最重要的是找出“不变量”。这是一门真正的艺术，要想掌握它，必须在解答类似的题目中积累经验。在这里光靠猜是不行的，并且应当记住：（1）所找出的量应当是不变量；（2）这种不变量对于题中的两类对象应当取不同的值；（3）应当立即确定下来我们的不变量所要反映的对象的类型。3.染色大量用不变量来解的问题需要借助一种专门形式的不变量——即所谓“染色”。下面是一个典型例子：例7棋子“骆驼”在1010的棋盘上走(1,3)步，即往横向走一格再往纵向走三格（横1纵3），也可纵1横3。（有点象“马”，不过“马”是走(1,2)步）。试问，“骆驼”可否经过几次跳动到达某个与原来相邻的方格？解不可能。设想棋盘已如国际象棋棋盘那样黑白相间地染了颜色。容易看出，“骆驼”一定是在颜色相同的格子之间跳动。这就是说：格子的颜色是一个不变量。由于相邻的格子的颜色必不相同，所以“骆驼”不可能跳入其中。4.半不变量——单调变化的量“半不变量”的思想极其自然地延续了不变量的思想。所谓“半不变量”是指在变换过程中单调变化的量，亦即仅增大或仅减小。典型的半不变量的例子有：人的年龄，它仅能随着时间的流逝而增大。例8在十个容器中分别装有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10毫升的水.每次操作可由盛水多的甲容器向盛水少的乙容器注水,注水量恰好等于乙容器原有的水量.问:能否在若干次操作后，使得5个容器都装有3毫升的水,而其余容器分别装有6,7,8,9,10毫升的水?如果能,请说明操作程序;如果不能,请说明理由.解不能．设甲容器水量为ａ，乙容器水量为ｂ，转注前后两容器水量和相等，所以转注前转注后甲容器乙容器甲容器乙容器a+b=(a-b)+2b奇奇偶偶奇偶奇偶偶偶偶偶偶奇奇偶从以上可见，每次操作后，水量为奇数的容器数目不增．由于初始状态有五个杯中水量是奇数毫升，因此无论多少次操作，水量为奇数毫升的容器数总不能比5多，所以5个容器有3毫升水，其余容器分别装有6，7，8，9，10毫升水（总计有7个容器水量为奇数毫升）的状态不可能出现.同步训练1．给定一个三元数组。对于其中任何二数可进行如下操作：如果这两个数是a与b，那么就把它们变为()2ab与()2ab。试问，能否通过这种操作，让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)135由三元数组(2,2,22)出发，得到三元数组(1,2,12)？2．一条龙有100个头。一名武士一剑可以砍掉它的15，17，20或5个头，就在这四种情况下，在龙的肩上又分别会长出24，2，14或17个新的头。如果把头都砍光时，龙就死了。龙会死吗？3．从1到610的每一个数反复地被换成该数所有数字的和，直到得到610个一位数。这些数中1多还是2多？4．设()dn是nN的所有数字的和，解方程：()(())1997ndnddn。5．在图1.1中，有公共边的两个方格称为相邻的。考虑下面的运算T：取任意两个相邻的数并加上同一个整数。能够把图1.1经若干次迭代T变成图1.2吗？图1.1图1.2图26．证明：88的国际象棋盘不可能划分为15个14的矩形和1个如图120所示的图形。7.在88的棋盘的每个方格中有一个整数。每次可取一个44或33的正方形，并把其中的每个数都加上1。是否总能得到一个数表，使得()a表中每个数都是偶数；()b表中每个数都是3的倍数？8.对于二次多项式2axbxc，允许做下面的运算：()a把a和c对换；()b把x换成xt，其中t是任何实数。重复做这样的运算，能把22xx变成21xx吗？9．如果多项式()fx和()gx分别是22()(),()2;afxxxgxx2()()2,()2;bfxxxgxx22()(),()2;cfxxxgxx用加，减，乘是否能从()fx和()gx得到()hxx？10．在一个1010的方块中，九个11方格被感染了。在单位时间后，只要是某个未感染的格子与两个已感染的格子