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第26章《二次函数》小结与复习唐山龙泉中学高辉教学目标:1.理解二次函数的概念,掌握二次函数y=ax2的图象与性质;会用描点法画抛物线,能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向,能较熟练地由抛物线y=ax2经过适当平移得到y=a(x-h)2+k的图象。2会用待定系数法求二次函数的解析式,能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质。3.使学生掌握二次函数模型的建立,并能运用二次函数的知识解决实际问题。重点难点:重点:1.用配方法求二次函数的顶点、对称轴,根据图象概括二次函数y=ax2图象的性质。2.用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。3.利用二次函数的知识解决实际问题,并对解决问题的策略进行反思。难点:1.二次函数图象的平移。2.会运用二次函数知识解决有关综合问题。3.将实际问题转化为函数问题,并利用函数的性质进行决策。教学过程:一、结合例题精析,强化练习,剖析知识点1.二次函数的概念,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象性质。例:已知函数4mm2x)2m(y是关于x的二次函数,求:(1)满足条件的m值;(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时当x为何值时,y随x的增大而增大?(3)m为何值时,函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时,y随x的增大而减小?学生活动:学生,回顾例题所涉及的知识点,让学生分析解题方法,以及涉及的知识点。教师精析点评,二次函数的一般式为y=ax2+bx+c(a≠0)。强调a≠0.而常数b、c可以为0,当b,c同时为0时,抛物线为y=ax2(a≠0)。此时,抛物线顶点为(0,0),对称轴是y轴,即直线x=0。(1)使4mm2x)2m(y是关于x的二次函数,则m2+m-4=2,且m+2≠0,即:m2+m-4=2,m+2≠0,解得;m=2或m=-3,m≠-2(2)抛物线有最低点的条件是它开口向上,即m+2>0,(3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下,即m+2<0。抛物线的增减性要结合图象进行分析,要求学生画出草图,渗透数形结合思想,进行观察分析。强化练习;已知函数mm2x)1m(y是二次函数,其图象开口方向向下,则m=_____,顶点为_____,当x_____0时,y随x的增大而增大,当x_____0时,y随x的增大而减小。2。用配方法求抛物线的顶点,对称轴;抛物线的画法,平移规律。例:用配方法求出抛物线y=-3x2-6x+8的顶点坐标、对称轴,并画出函数图象,说明通过怎样的平移,可得到抛物线y=-3x2。学生活动:寻找配方方法,确定抛物线画法的步骤,探索平移的规律。充分研究后让学生代表归纳解题方法与思路。教师归纳点评:(1)教师在学生回答的基础上强调配方的方法及配方的意义,指出抛物线的一般式与顶点式的互化关系:y=ax2+bx+c————→y=a(x+b2a)2+4ac-b24a(2)强调利用抛物线的对称性进行画图,先确定抛物线的顶点、对称轴,利用对称性列表、描点、连线。(3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动,分析完例题后归纳;投影展示:强化练习:(1)抛物线y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,求:b与c的值。(2)通过配方,求抛物线y=12x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标,再画出图象。3.用待定系数法确定二次函数解析式.例:根据下列条件,求出二次函数的解析式。(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,1),(1,3),(-1,1)三点。(2)抛物线顶点P(-1,-8),且过点A(0,-6)。(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过(3,0),(2,-3)两点,并且以x=1为对称轴。(4)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=-23x+3的图象与x轴、y轴的交点;且过(1,1),求这个二次函数解析式,并把它化为y=a(x-h)2+k的形式。学生活动:题目中的四个小题应选择什么样的函数解析式?并让学生阐述解题方法。教师归纳:二次函数解析式常用的有三种形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0)(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c形式。当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k形式。当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时,通常设为交点式y=a(x-x1)(x-x2)强化练习:已知二次函数的图象过点A(1,0)和B(2,1),且与y轴交点纵坐标为m。(1)若m为定值,求此二次函数的解析式;(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围。4.何时获得最大利润问题。例:重庆市某区地理环境偏僻,严重制约经济发展,丰富的花木产品只能在本地销售,区政府对该花木产品每投资x万元,所获利润为P=-150(x-30)2+10万元,为了响应我国西部大开发的宏伟决策,区政府在制定经济发展的10年规划时,拟开发此花木产品,而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元,若开发该产品,在前5年中,必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路,且5年修通,公路修通后,花木产品除在本地销售外,还可运往外地销售,运往外地销售的花木产品,每投资x万元可获利润Q=-4950(50-x)2+1945(50-x)+308万元。(1)若不进行开发,求10年所获利润最大值是多少?(2)若按此规划开发,求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果,请你用一句话谈谈你的想法。学生活动:投影给出题目后,让学生先自主分析。教师活动:在学生分析过程中,对学生进行学法引导,引导学生先了解二次函数的基本性质,并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型,借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。教师精析:(1)若不开发此产品,按原来的投资方式,由P=-150(x-30)2+10知道,只需从50万元专款中拿出30万元投资,每年即可获最大利润10万元,则10年的最大利润为M1=10×10=100万元。(2)若对该产品开发,在前5年中,当x=25时,每年最大利润是:P=-150(25-30)2+10=9.5(万元)则前5年的最大利润为M2=9.5×5=47.5万元设后5年中x万元就是用于本地销售的投资。则由Q=-4950(50-x)+1945(50-x)+308知,将余下的(50-x万元全部用于外地销售的投资.才有可能获得最大利润;则后5年的利润是:M3=[-150(x-30)2+10]×5+(-4950x2+1945x+308)×5=-5(x-20)2+3500故当x=20时,M3取得最大值为3500万元。∴10年的最大利润为M=M2+M3=3547.5万元(3)因为3547.5>100,所以该项目有极大的开发价值。强化练习:某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件,经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看做—次函数y=kx+b的关系,如图所示。(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式,(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元,①试用销售单价x表示毛利润S;②试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少?分析:(1)由图象知直线y=kx+b过(600,400)、(700,300)两点,代入可求解析式为y=-x+1000(2)由毛利润S=销售总价-成本总价,可得S与x的关系式。S=xy-500y=x·(-x+1000)-500(-x+100)=-x2+1500x-500000=-(x-750)2+62500(500<x<800)所以,当销售定价定为750元时,获最大利润为62500元。此时,y=-x+1000=-750+1000=250,即此时销售量为250件。5.最大面积是多少问题。例:某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元,设矩形的边长为x,面积为S平方米。(1)求出S与x之间的函数关系式;(2)请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个设计费用;(3)为了使广告牌美观、大方,要求做成黄金矩形,请你按要求设计,并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元)(参与资料:①当矩形的长是宽与(长+宽)的比例中项时,这样的矩形叫做黄金矩形,②5≈2.236)学生活动:让学生根据已有的经验,根据实际几何问题中的数量关系,建立恰当的二次函数模型,并借助二次函数的相关知识来解决这类问题。教师精析:(1)由矩形面积公式易得出S=x·(6-x)=-x2+6x(2)确定所建立的二次函数的最大值,从而可得相应广告费的最大值。由S=-x2+6x=-(x-3)2+9,知当x=3时,即此矩形为边长为3的正方形时,矩形面积最大,为9m2,因而相应的广告费也最多:为9×1000=9000元。(3)构建相应的方程(或方程组)来求出矩形面积,从而得到广告费用的大小。设设计的黄金矩形的长为x米,则宽为(6-x)米。则有x2=6·(6-x)解得x1=-3-35(不合题意,舍去),x2=-3+35。即设计的矩形的长为(35,3)米,宽为(9-35)米时,矩形为黄金矩形。此时广告费用约为:1000(35-3)(9-35)≈8498(元)三、课堂小结1.让学生反思本节教学过程,归纳本节课复习过的知识点及应用。2。投影:完成下表:3归纳二次函数三种解析式的实际应用。4.如何将实际问题转化为二次函数问题,从而利用二次函数的性质解决最大利润问题,最大面积问题。四、作业:1.若二次函数y=(m+1)x2+m2-2m-3的图象经过原点,则m=______。2.函数y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2,b),则k=______,b=______。3.开口向上的抛物线y=a(x+2)(x-8)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,若∠ACB=90°,则a=_____。4.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且过(3,0),则a+b+c=______。5.某公司生产的A种产品,它的成本是2元,售价为3元,年销售量为100万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x(十万元)时,产品的年销售量将是原销售量的y倍,且y=-110x2+35x+1,如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费。(1)试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式.(2)如果投入广告费为10~30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增次?(3)在(2)中,投入的广告费为多少万元时,公司获得的年利润最大?是多少?
本文标题:第26章二次函数复习课
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