第27讲曲线弧长计算2009

《数学分析I》第27讲教案1第27讲平面曲线的弧和平行截面面积已知的体积授课题目平面曲线的弧和平行截面面积已知的体积教学内容1.平面曲线的弧长；2.平面曲线的曲率；3.平行截面面积已知的体积.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能较好掌握平面曲线的弧长计算公式和平面曲线的曲率计算公式，了解平行截面面积已知的体积的计算方法．教学重点及难点教学重点：平面曲线的弧长计算；教学难点：平行截面面积已知的体积.教学方法及教材处理提示(1)平面曲线的弧长计算和曲线的曲率问题都采用问题式教学法进行讲授，老师先给出问题及解决问题的思路，要求学生按照定积分元素法，推导出平面曲线的弧长计算公式和曲线的曲率计算公式.(2)定积分在物理中的应用（水压力、变力作功）和定积分的近似计算作为习题课内容.作业布置作业内容：教材252P:1（1，3，6），2（2，4）;246P:5，6.讲授内容一、平面曲线的弧长一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求。设平面曲线C由参数方程为：).(),(tyytxx)(t，设},,,{10ntttP是],[的一个划分，即nttt10，它们在曲线C上所对应的点为000((),())Mxtyt，111((),())Mxtyt，…，((),())nnnMxtyt。从端点0M开始用线段一次连接这些分点0M，1M，…，nM得到曲线的一条内接折线，用iiMM1来表示iiMM1的长度，则内接折线总长度为2211111[(()()][(()()]nnniiiiiiiiSMMxtxtytyt曲线CC的弧长S定义为内接折线的总长在0}max{itP时的极限：221110011limlim[(()()][(()()]nniiiiiippiiSMMxtxtytyt如果S存在且为有限，则称C为可求长曲线。1.参数方程情形曲线弧为,)()(tytx)(t，其中)(),(tt在],[上具有连续导数.22)()(dydxds222))](()([dtttdttt)()(22弧长.)()(22dttts例1求星形线323232ayx)0(a的全长.《数学分析I》第27讲教案2解：星形线的参数方程为taytax33sincos)20(t根据对称性14ss（第一象限部分的弧长4倍），14ssdtyx20224dttta20cossin34.6a2.直角坐标情形弧长.12dxysba例2计算曲线2332xy上相应于x从a到b的一段弧的长度.解：,21xydxxds2)(121,1dxx所求弧长为dxxsba1].)1()1[(322323ab3.极坐标情形曲线弧为)(rr)(，其中)(在],[上具有连续导数.sin)(cos)(ryrx)(，22)()(dydxds,)()(22drr弧长.)()(22drrs例3求阿基米德螺线ar)0(a上相应于从0到2的弧长.解：,ardrrs)()(2220daa22220ad12.)412ln(412222a例4求抛物线221xy，01x的弧长S.解：例5求心形线)cos1xar（)0(a的全长.解：《数学分析I》第27讲教案3二、曲率及其计算公式1.弧微分若把公式（2）中的积分上限改为t，就得到曲线由端点0P到动点))(),((tytxP的弧长，即.)()()(22dyxtst因此有22dtdydtdxdtds，或dttytxds)()(22，注：当曲线)(xyy，于是弧微分dxyds21.2.曲率定义.sKMM的平均曲率为弧段曲线C在点M处的曲率sKs0lim,lim0存在的条件下在dsdss.dsdK注意：(1)直线的曲率处处为零；(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.3..曲率的计算公式,)(二阶可导设xfy,tany于是,arctany,12dxyyd.12dxyds则.)1(232yyk例6?2上哪一点的曲率最大抛物线cbxaxy解：,2baxy,2ay.])2(1[2232baxak显然,2时当abx.最大k,)44,2(2为抛物线的顶点又aacbab.最大抛物线在顶点处的曲率二、平行截面面积已知的体积设一几何体夹在ax和bx)(ba这两个平行平面之间，用垂直于x轴的平面去截此几何体，设载面与X轴交点为)0,(x，可得的截面面积为S（x），如果S(x)是],[ba上的可积函数，则该几何体的体积V等于：badxxSV)(.例7求由两个圆柱面222ryx，222rzx所围成的立体的体积V.例8求由椭球面1222222czbyax)0,,(cba所围的几何体体积V.