第2章任意激励作用下的受迫振动

§2-6周期激励作用下的的受迫振动对于周期激励先进行谐波分析,将它分解成一系列不同频率的简谐激励，然后救出系统对务介频率的简谐激励的响应，再由母性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周期激励的响应。设作用在粘性阻尼系统的周期激励力F(t)=F(t+T)，其中T为周期，记1=2/T为基频，则有：()cossinnnnaFtantbnt01112（2-6-1）则系统的运动微分方程为∞0n1n1n=1amx+cx+kx=F(t)=+acosnt+bsinnt2（2-6-2）由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应()cos()sin()nnnnnaxtAntBntk01112其中()()()(),,nnnnnnnnnnnnnnnaAkbBktgnkcppmmp222222221112112212§2-7任意激励激励下的受迫振动一、系统对冲量的响应1．用冲量描述瞬态作用设作用在系统物块受到一冲量的作用，设冲量为ˆF，忽略物块有位移，则物块受冲量作用后获得的速度为ˆFvm（2-7-1）设t=为作用冲量的瞬时，取初位移x=0，初速度ˆFxvm，则得单自由系统无阻尼系统对冲量ˆF的的响应ˆsin()nnFxptmp（2-7-2）同理冲量作用在有阻尼系统上的响应为()ˆsin()ntddFxeptmp（2-7-3）2．用函数表示冲击力函数的定义：()()tttt001（2-7-4）用函数表示作用在极短时间内冲击力，设冲量的大小为ˆF，则相应的冲击力ˆ()FFt（2-7-5）式中表示施加冲量的瞬时。当ˆF1时，冲击力()Ft（2-7-6）即为单位冲量（单位脉冲函数）。设单位脉冲函数的响应h(t)，则单自由无阻尼系统的响应为sin()nnxptmp1（2-7-7）粘性阻尼系统的响应()sin()ntddxeptmp1（2-7-8）二、系统对任意激励力的响应AdynamicalsystemisexcitedbyasuddenlyappliednonperiodicexcitationF(t))(tFkxxcxm将激励力F(t)看作是一系列元冲量的叠加。对于t=的元冲量为()()ˆsin()ntddFdFeptmpNonperiodicexcitationtF(t)/ˆF由线性系统的叠加原理，系统对任意激励力的响应等于在时间区间0t内各个元冲量的总和，即()()()sin()ttntddFxtdxeptdmp00tt1（2-7-9）对于无阻尼系统，令n=0，得响应()()sin()ttnnFxtdxptdmp00（2-7-10）考虑（2-7-7）和（2-7-8）式，得单自由度系统对任意激励力响应的统一表达式()()()txtFhtd0tt1（2-7-11）上式积分形式称为卷积。线性系统对任意激励力的响应等于它脉冲响应与激励的卷积。（Borel定理，也称Duhamel积分）。Theresponsetosuchexcitationiscalledtransientresponse.例无阻尼弹簧—质量系统受到突加常力F0（阶跃函数）的作用，试求其响应。解：设000xx，将F(t)=F0代入(2-7-11)得0()(1cos)nFxtptk例无阻尼弹簧—质量系统，受到如图所示矩形脉冲作用，F(t)=F0，0tt1，试求其响应。解：在0tt1阶段，系统的的响应为0()(1cos)nFxtptk当tt1时，F(t)=0，由（2-7-10）得11100011()sin()()sin()1()sin()cos()costtnntntnnnnxFptdFptdmpFptdmpFpttptk所以，系统的响应为00111cos0()cos()cosnnnFptttkxtFpttptttkF(t)F0tF0F(t)t1t在tt1阶段，振幅为22001011122()()2(1cos)sinsin2nnnFFptFxttAxtptpkkkT可见，常力F0除去的振幅随t1/T改变。在t1=T/2时，A=2F0/k；在t1=T时，A=0。§2-8响应谱响应谱是系统在给定激励下的最大响应值与系统或激励的某一参数之间的关系曲线图。最大响应值可以是最大位移、最大速度、最大应力或出现最大值的时刻等；参数可以是系统的固有频率、激励作用的时间等；例受迫振动的幅频响应曲线。响应谱中有关的量都化为无量纲的参数表示。例上例中得到的无阻尼弹簧—质量系统在矩形脉冲力作用的响应。当0tt1时0()(1cos)(1cos)nstnFxtptxptk当tt1时1cos()cosstnnxxpttpt其振幅为12sinsttAxT当t1T/6时，00.20.40.60.811.21.41.61.8200.511.522.5t1/Tx/xst位移响应谱