第2章单自由度系统(自由振动)

第二章单自由度系统的自由振动本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。§2-1无阻尼系统的自由振动无阻尼单自由度系统的动力学模型如图1.1所示。设质量为m，单位是kg。弹簧刚度为K，单位是N／m，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg作用而产生拉伸变形：，同时也产生弹簧恢复力K，当其等于重力W时，则处于静平衡位置，即W=K若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量m向下运动到x，此时弹簧恢复力为K(+x)，显然大于重力W，由于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘积)，建立运动方程，取与x正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程改写为0kxxm(1-1-1令mkp2(1-1-2)单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为02xpx(1-1-3)设方程的特解为stex将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为ipsps2,1220则(1-1-3)的通解为ptDptCeCeCxiptiptsincos11(1-1-4)C、D为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时00,xxxx（1-1-5）xmxkWFm未挂质量位置静平衡位置k一自由度弹簧—质量系统kmgWxmWxxk则ptpxptxxsincos00（1-1-6）经三角变换，又可表示为)sin(ptAx（1-1-7）其中001220,xpxtgpxxA（1-1-8）自由振动的振幅A和初相位角与系统的参数和初始条件有关。系统的振动周期kmpT22秒（s）系统振动的频率为)(21211mgkgmkTfn秒-1(s-1)或(Hz)系统振动的圆频率为Tfmkpn22弧度/秒(rad/s)§2-2能量法系统的动能T与势能U之和称为系统的机械能。在没有阻尼的情形下，系统没有能量损失，机械能将守恒，即T+U=常量（2-2-1）因而有0)(UTdtd（2-2-2）应用上二式好可得到系统的运动方程和固有频率。设物体按x=Asin（n+）的规律作谐振动。取平衡位置为零势能点，物体在任意位置x时的动能T和势能U分别为222,2xkUxmT将上二式代入（1-2-2）可得系统运动方程。当物体运动经过平衡位置x=0时，动能达最大值22max21AmpT当物体位移最大时，即x=A，T=0，U达最大值2max21kAU因此Tmax=Umax（2-2-3）即2222121kAAmn得mkpmkp,2§2-3阻尼系统的自由振动实际系统中阻尼总是存在的，它不断消耗系统的能量，使运动逐渐减弱，直至振动完全消失。阻尼产生的根源有多种，不同的来源产生的阻尼力其变化规律也不相同。常见是一种粘性阻尼，其阻尼力与物体运动速度大小成正比，方向与速度方向相反，即FR=cv其是c称为粘性阻尼系数，v为物体的运动速度。粘性阻尼系统的运动方程:0kxxcxm(2-3-1)令pmcpmk2,2(2-3-2)(1-3-1)运动方程化为022xpxpx(2-3-3)设特解stex得特征方程及特征根psppss)1(,0222,122(2-3-4)方程(1-3-3)的通解tstseCeCx2121(2-3-5)或pspseCeCx)1(2)1(122,122,1(2-3-6)阻尼讨论:1.1,大阻尼情形由于s1、s2均为负实数，运动解x将按指数规律减小，并趋于平衡位置。2.=1,临界阻尼情形特征方程有重根s1=s2=-p，方程的通解为pteDtCx)(（2-3-7）系统受初始干扰离开平衡位置后又逐渐回到平衡位置，运动不明往复性的。3.1,小阻尼情形特征方程的根为共轭复数pis)1(22,1（2-3-8）运动解qtDqtCexptsincos（2-3-9）其中pq21C、D由运动的初始条件确定。当t=0时，00,xxxx则qpxxDxC000,（2-3-10）运动解也可表示为qtAexptsin（2-3-11）其中000120020,pxxqxtgqpxxxA（2-3-12）由于系统的运动的幅度是逐渐减弱的，被称为衰减振动。衰减振动不是周期性运动。但运动通过平衡位置的间隔时间是相同的。物体通过平衡位置的时间间隔为2211122TpqT（2-3-13）称为衰减振动的周期。衰减振动任意两个相邻的振幅之比等于11)(1pTptTtpiieAeAeAAii（2-3-14）取自然对数（对数减缩率）11lnlnpTepT（2-3-15）当=1时,临界阻尼系数kmmpcc22则阻尼比:ccc