第2章控制系统的状态方程求解

第2章控制系统的状态方程求解要点：①线性定常状态方程的解②状态转移矩阵的求法③离散系统状态方程的解难点：①状态转移矩阵的求法②非齐次状态方程的解一线性定常系统状态方程的解1齐次状态方程的解考虑n阶线性定常齐次方程0)0()()(xxtAxtx（2-1）的解。先复习标量微分方程的解。设标量微分方程为0)0(xxaxx（2-2）对式（2-2）取拉氏变换得)()(0saXXssX移项0)()(xsXas则asxsX0)(取拉氏反变换，得000!)()(xkatxetxkkat标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理：定理2-1n阶线性定常齐次状态方程（2-1）的解为000!)()(xkAtxetxkkAt（2-3）式中，0!)(kkAtkAte推论2-1n阶线性定常齐次状态方程00)()()(xtxtAxtx（2-4）的解为0)(0)(xetxttA（2-5）齐次状态方程解的物理意义是)(0ttAe将系统从初始时刻0t的初始状态0x转移到t时刻的状态)(tx。故)(0ttAe又称为定常系统的状态转移矩阵。(状态转移矩阵有四种求法：即定义（矩阵指数定义）法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿（Cayly-Hamilton）法)从上面得到两个等式0!)(kkAtkAte])[(11AsILeAt其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为Ate的频域求法或拉氏反变换法2非齐次状态方程的解设n阶非齐次方程0)()()()(xtxtButAxtx(2-6)将状态方程左乘Ate，有)()()(tBuetAxetxeAtAtAt移项积分，再移项左乘Ate，得tttAttAdBuexetx00)()()(0)(定理2-2n阶线性定常非齐次方程（2-6）的解为tttAttAdBuexetx00)()()(0)(从非齐次状态方程解的表达式可以看出其解是由齐次方程的解与控制u（t）的作用两部分结合而成。二矩阵指数Ate的性质1.])[(11AsILeAt2.Ie03.)(tAAAteee4.AtAtee1)(5.若矩阵A，B满足交换律，即AB=BA，则有tBABtAteee)(6.kAtkAtee)(7.设P是与A同阶的非奇异矩阵，则有PePeAtAPtP118.AeAeedtdAtAtAt9.传递性。对任意012,,ttt，且012ttt，有)()1()(02012ttAttAttAeee三Ate的计算方法1.定义法0!)(kkAtkAte（2-6）2.拉氏变换法])[(11AsILeAt（2-7）3.特征值法这种方法分两种情况计算。首先，考虑A的特征值不重时（互异），设A的特征值为i),2,1(ni则可经过非奇异变换把A化成对角标准形。即：APPA1ˆ根据tAeˆ的性质7写出ttttAneeee0021ˆ（2-8）根据定义，得312113322ˆ)(!31)(!21ˆ!31ˆ!21ˆAPtPAPtPAPPItAtAtAIetAPAPAPPAPPAPPAPPmmm11111)(33122111ˆ!31!21PtAPPtAPAPtPPPetAPtAAtIPetA)!21(221ˆPePAt1从而可得：10021PeeePetttAtn（2-9）（2-9）式即为A的特征值不重时，计算Ate的公式。其中P阵为把A化为对角标准形的交换阵。P阵的特征向量的求法：（],,[1nP，0)(iiAI）（2-9）若矩阵A的具有重根时，用上述的方法也可以推导出：重根所对应的约当块AJ的矩阵指数Ajte的分式为jtjtjtjtjtnjtjtAjteteeeetnteee0)!1(11（2-10）求矩阵指数Ate的分式为：1110)!1(1PeteeeetnteePPPeejtjtjtjtjtnjtjtAjtAt（2-11）式中P是把Aj化为约当标准形的变换阵。当A既有j重根又有互异的根时：1ˆPeePetAtAAtj（2-12）P阵的特征向量的求法：],,,,,,,,[121njjpppP(2-13)0)(0)()()(0)(111112111nnjjjjAIAIppAIppAIpAI(2-14)(注：在（2-13）式中将重根对应的特征向量jppp,,,21可放在P阵的前部，也可以放后，无严格规定。)4.莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）方法考虑A的特征多项式nnnnaaaAI111)(显然对A的n个特征值nii,,2,1,，有0)(i。根据Cayley-Hamilton定理有0)(111IaAaAaAAnnnn这里可以看出矩阵A与i具有同等地位。移项AaAaAaAaAnnnnn21121上式表明，IAAAAnnn,,,,21是的线性组合。因此，可设101110)()()()(nknnkkAtAtAtItAte（2-15）式中，)(ti是待定系数，1,,1,0ni。下面分两种情况确定待定系数：（1）A有n个不同特征值n,,21,A的特征值i与A具有同等地位，则有nitenkkikti,,2,1)(10（2-16）这里共有n个方程，可以唯一确定n个待定系数)(ti。（2）当A的特征值有重时，设A有p个互异特征值，r个不同的重特征值，且各重数为jm，rj,,2,1。若j是jm重特征值，则将j满足的方程kjnkkttej10)(对i求1jm次导，这样共有jm个独立方程。一般地，设A的特征值为p,,21为单特征值1p是1m重特征值…………rp为rm重特征值。有nmprjj1则)(ti由下面n个独立方程确定：1011101010)(()(,2,1))(()()(,2,1)(nkkjpkmmtmmnkkjpkjptjpnkkjpktjnkkikttddeddrjtddeddtempitepnjjpjjpjjpjjpjpi个方程个方程个方程（2-17）例4阶系统（n=4），有一个根重了3次，即j=3，用莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）方法求状态转移矩阵，即用（2-17）式推得：tttteetteetttttttt14111213424412113121132101620032101)()()()()(（2-18）然后按（2-15）式计算101110)()()()(nknnkkAtAtAtItAte四线性离散系统的状态空间表达式及连续系统离散化1离散系统的状态空间模型在古典控制理论中，离散系统用差分方程描述，差分方程和描述连续系统的微分方程有着对应的关系。事实上，对微分方程以差商来近似微分时，微分方程就可由差分方程来近似。与连续系统相似，对n阶离散系统的差分方程kubkubmkubmkubkyakyankyankymnnn111111011（2-19）若选择适当的状态变量就可将其转换成一足一阶差分方程或一阶向量差分方程，从而得到与其对应的状态空间模型。即kTDukTCxkTykTGukTFxTkx)1(（2-20）此外对连续系统的状态空间模型离散化也可得到离散的状态空间表达式。例已知某离散系统的差分方程为kukykykyky21233试求其状态空间表达式。解：选状态变量2,1,321kykxkykxkykx，则可直接写出状态空间表达式。kukxkxkxkxkxkxkxkx3213322132111kxky1写成矩阵形式ukxkxkxkxkxkx100312100010111321321kxkxkxky321001显然这是能控标准形，若改变选择状态变量的方法，也可以将该离散系统的差分方程转换成另一种形式的状态空间表达式。2线性定常系统状态方程的离散化线性定常连续系统的状态方成为BuAxx（2-21）由第二章可知，其基本解式为ttttAttAdrBuetxetx000)()()()(0)(（2-22）取,2,1,0,)1(,0kTktkTt，式（1-53）变成TkkTTkAATdBuekTxeTkx)1(])1[()(][])1[(（2-23）（2-23）式的在kT和Tk)1(之间，且有][)(kTuu常数。这是由于在离散化式采样器后面常放置零阶保持器，故输入][kTu可以放到积分符号之外，从而有TkkTTkAATkTBudekTxeTkx)1(])1[(][][])1[(（2-24）式中，令Tkt)1(，则ddt，而积分下限kT，则TkTTkt)1(。当积分上限Tk)1(时，则0)1(Tkt，故式（2-24）可化简为0)()()(])1[(TATATkTButdekTxeTkxTATATkTBudtekTxe0)()(（2-25）将式（2-25）与式（2-20）比较])[()(11AsILekTFAT（2-26）TATBdtekTG0)(（2-27）例已知某连续系统的状态空间表达式为uxxxx10101021212101xxy试求其离散状态空间表达式。解：根据式(2-26)可求出离散状态方程的系数阵1111101])[()(ssLAsILekTFATTTeessssL011110)1(111其离散状态方程的输入阵根据式（2-27）写成dteeBdtekTGTTttAt0010011)(TTTtteeTdtee1110从而可得该系统的状态空间表达式)(11)()(011])1[(])1[(2121kTueeTkTxkTxeeTkxTkxTTTT)()(01][21kTxkTxkTy3离散系统的传递函数阵与连续系统相对应，离散系统也可以与传递函数阵作为数学模型来描述，为此对状态空间模型式（2-20）的两边取Z变换，有)(