湖水污染模拟

第1页共7页西北农林科技大学实验报告学院名称：理学院专业年级：2011级信计1班姓名：余学号：2011014816课程：数学模型与数学建模报告日期：2013年12月19日1实验题目:湖水污染模拟2实验问题陈述:在北美的五大湖中，安大略湖处于伊利湖的下游，但安大略湖不仅接受伊利湖来的水，还要接受非伊利湖流入的水．试建模描述这两个湖的污染情况．如果流入安大略的水有5/6是伊利湖流出的，对它们的污染情况给出进一步的分析．假设除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流动外，流入伊利湖和安大略湖的所有污染都暂时被停止了．试计算把安大略净化到50%以及5%所需要的时间．下表给出了五大湖中四个湖的观测数据，使用这些数据建模对其中的一个或两个湖的污染给出进一步的分析．北美五大洲的观测数据：特征苏比利尔湖密执安湖伊利湖安大略湖长度/km宽度/nm面积/km2水面流域陆地总和最大深度/m平均深度/m水的体积/km3平均年降雨/mm平均流量/（升/秒）水的平均保存时间/年5602568236712483820720040614812221736206736018949018858015117845175860281844871787501264034.83859125665879384459601715886355507202.63098519684704489013224486163686366268807.83实验目的:通过数学建模来计算出湖水的平均停留时间，来确认污染的治理问题，同时针对湖泊的特点进行数学模型的描述。4实验内容:实验假设：（1）不区分不同的污染物所造成的污染，不考虑从不同渠道流入与流出湖泊之间的区第2页共7页别。只考虑携带污染物的水流入湖泊和湖泊中的水流出对湖水污染程度的影响。因此可以把湖泊看成一个单流入、单流出的系统。（2）流入湖泊的污染物能以很快的速度与湖中的水均匀混合，也就是说湖中的污染物状况与任何局部水体在湖中的位置无关。（3）参与模型的变量是连续变化的,并且充分光滑。（4）湖水的体积保持定常，也就是说假设降水等原因所引起的流入物增加量与被蒸发、渗漏所造成的损失量互相抵消，不考虑湖水体积季节上的差异。（5）不考虑生物学因素在水体自净过程中的作用，污染物流出外不因腐烂、沉积、或者其他任何手段从湖水中消失。说明变量：1()rtt时刻流入湖水的流速(1)1()ptt时刻流入湖水的污染物的浓度(2)0()rtt时刻流出湖水的流速(3)0()ptt时刻流出湖水的污染物的浓度(4)()ptt时刻湖水中污染物的浓度(5)()Vtt时刻湖水的体积(6)由假设（3），它们都是连续而且充分光滑的。由假设（4）可知1()VtV（常数）。利用池水含盐问题[3]中得到的数学模型就有11122()()()()()dPtVPtrtPtrtdt由于V为常数，故有12()()rtrt，另外根据假设（2），流出的污染物应与湖水中污染物有相同的浓度2()()PtPt。进一步我们假定从湖中流出的湖水的流速为常数，于是有120()()rtrtr。这样，我们得到由于2V为常数，故有232rrS，另外根据假设（2），流出的污染物应与湖水中污染物有相同的浓度1()()tQt。进一步我们确定从湖中流出的湖水的流速为常数，于是有20SS（常数）0323222()()()()oSrrtdQQtPtPtdtVVV（5-1-5）2256Sr2316Sr112(()())odPVrPtPtdt220330()()()()()dQVPtrtPtrtSQtdt第3页共7页2065rS306rS000232226()()6()5SSSdQQtPtPtdtVVV（5-2-1）令20VS，不难理解给出了排尽湖水所需要的时间或称之为湖水的保留时，于是就得到了湖水污染的模型。23()66()()5dQQtPtPtdt（5-2-2）由5.1.2知安大略湖污染物情况模型为00323222()()()()SrrtdQQtPtPtdtVVV（5-3-1）又因为流入伊利湖和安大略湖的所有污染都暂时被停止，得到13()()0PtPt则有20Vr，不难看出给出了由伊利湖单独灌满湖水所需的时间，于是就有了下列模型2()()PtdQQtdt设2()Ptk(常数)，可以以为伊利湖每天的污染物是以其平均值流入安大略湖内，如果已知在初始时刻0t有(0)sQQ，那么模型（5-3-3）可以化解为下列式子：()dtdttkkQteedtcce当()sQtQ时，skcQ即()()tskkQtQe从这个结论我们可以看到:00222()()SrdQQtPtdtVV（5-3-2）（5-3-3）（5-3-4）第4页共7页(1)sQk时，污染物的浓度将逐渐减小，而当sQk时污染物的浓度随时间而增加，而且有lim()tQtk，称k为该湖泊最终污染情况。(2)由（5-3-3）可以看出，当流入浓度k给定时，湖水污染物浓度的变化速率只依赖于湖水的保留时间，并与的大小成反比。讨论：①若k=0即2()0Pt表示伊利湖中()0Pt没有污染物流出。这时，由式（5-3-4）得到ln/()stQQt当50%()sQQt时，0.5ln2t当5%()sQQt时，0.05ln20t②称()/kQt为湖水在t时刻的污染水平，1时，为饱和污染水平；1时，为超饱和污染水平。容易看出，这时污染物浓度将不断下降；1时，湖水的污染状况不断加重。若0sQ即安大略湖一开始时未污染的，则t时刻的污染水平/()1tte，则对于给定的水平1，湖水的污染程度达到水平所需的时间为ln1t。当0.5时有1/2ln20.7t0.05时，有0.05100ln95t对于0sQ的情形，当/1skQ时，水体达到污染水平所需的时间为0ln1/1t，其中0/skQ5.4（5-3-5）（5-3-6）（5-3-7）（5-3-8）（5-3-9）第5页共7页①由式（5-3-6）得：0.50.7t，为水的平均保存时间，对于伊利湖2.6，0.51.82t；对于安大略湖7.8，0.055.46t。由式（5-3-7）得：对于伊利湖0.05ln2037.8t；对于安大略湖0.05323.4t。②由式（5-3-8）得：0.50.7t对于伊利湖0.51.82t，对于安大略湖0.55.46t由式（5-3-9）得：0.050.051t对于伊利湖0.050.1326t，对于安大略湖0.050.3978t下图是模拟的结果,它展示了各种各样的污染在安大略湖和污染减少每年的减量。运行程序二，它显示了铝的分布(第一年倾倒)流动从0~400公里沿江首先,第五,第十,二十,三十,四十年。第6页共7页所以铝的浓度在安大略湖figure6在持续十年的。在同一时间,仿真程序显示相同的结果,和铝的密度最高0.05单位/立方千米,30公里从工厂。我们已经证明了初始污染物在湖里将被清除后几十年和铝的浓度将稳定。虽然铝的密度最高0.05单位/立方千米,安大略湖大约没有污染。5实验结果分析与讨论对于一个大湖，蒸发和渗漏也是湖水减少不可忽略的因素。考虑这些约束条件iorr必须放宽。这时我们不妨假设()orkVt。这样一来在建模过程的平衡方程中就需要添加一个输出项()()AptVt。这样还需要对参数A给出估计，这将不是一件容易的事。6.1.2污染物不同的污染物对于湖水污染的影响行为特征是不同的。如：DDT，由于它容易溶解在机体的脂肪中，随着生物的吸收，保留了大部分ＤＤＴ，而且几乎不可能使之在生物圈内消除。可以料想，在一个相当长的时间内，DDT将保留在湖里的生物中，要想把DDT从湖中排除掉的最大可能是把它慢慢地分解成危害较小的化合物或水中的生物离开湖泊，比如猛禽捕食鱼类和人类的捕捞活动。然而磷的性状不同，塔大量存在于人们的生活垃圾、化肥和洗涤剂中。这种元素的含量过多可能引起湖中水藻激增，水体发臭。水藻死去后沉落湖底。许多磷以这种方式暂时从湖中除掉。一旦藻类腐烂，磷又回到湖水中，一部分被排出去，一部分又重新进入生物圈。6实验程序（Matlab或者其它软件语言陈述）程序一：c=zeros(400,40);%thepollution'sdestiny;w=25;%everyyearput25unitsAlintotheantario;A=80*85/1000;%theantario'ssectionarea;E=22;v=32;%theantario'sflux;fori=1:1:400forj=1:1:40c(i,j)=(w/(A*sqrt(4*pi)*E*j))*exp(-(i-v*j)^2/(4*E*j));endenda=c(:,1);b=c(:,5);d=c(:,10);e=c(:,20);x=1:1:400;subplot(2,2,1);plot(x,a,'.');subplot(2,2,2);第7页共7页plot(x,b,'g.');subplot(2,2,3);plot(x,d,'r.');subplot(2,2,4);plot(x,e,'y.');程序二b=zeros(1,20);a=zeros(1,20);b(1)=2500;b(2)=3150;a(1)=2500;a(2)=1550;forn=3:1:20a(n)=(1-0.38)*a(n-1);b(n)=(2-0.38-0.13)*b(n-1)-(1-0.13)*(1-0.38)*b(n-2)+0.38*25;endx=1:1:20;plot(x,a,'r',x,b,'b');title('thechangeofaandb');xlabel('year');ylabel('thetotalamountofpollution');p1=1.480*10^(-9);p2=1.525*10^(-9);forn=1:1:20p(n)=(p1-(0.62^n)*p2)*exp((-1/7.81)*n)+(0.62^n)*p2;endx=1:1:100;plot(x,p,'x');xlabel('theyear');ylabel('desntiny');