电大《微积分初步》复习题及答案

微积分初步复习试题一、填空题（每小题4分，本题共20分）⒈函数xxxf4)2ln(1)(的定义域是]4,1()1,2(．⒉若24sinlim0kxxx，则k2．⒊曲线xye在点)1,0(处的切线方程是1xy．⒋e12d)1ln(ddxxx0．⒌微分方程1)0(,yyy的特解为xye．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈设函数xxysin，则该函数是（A）．A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数⒉当k（C）时，函数0,0,2)(2xkxxxf，在0x处连续.A．0B．1C．2D．3⒊下列结论中（C）正确．A．)(xf在0xx处连续，则一定在0x处可微.B．函数的极值点一定发生在其驻点上.C．)(xf在0xx处不连续，则一定在0x处不可导.D．函数的极值点一定发生在不可导点上.⒋下列等式中正确的是（D）．A.)cosd(dsinxxxB.)1d(dlnxxxC.)d(dxxaxaD.)d(2d1xxx⒌微分方程xyyxysin4)(53的阶数为（B）A.2；B.3；C.4；D.5三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限2386lim222xxxxx．原式214lim)1)(2()2)(4(lim22xxxxxxxx⒉设xxy3cosln，求yd.)sin(cos312xxxyxxxxyd)cossin31(d2⒊计算不定积分xxd)12(10xxd)12(10=cxxx1110)12(221)12(d)12(21⒋计算定积分xxdln2e1xxdln2e121lnexx1e1ee2d222e12xxx四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知22108,108xhhxxxxxxxhxy432108442222令043222xxy，解得6x是唯一驻点，且04322263xxy，说明6x是函数的极小值点，所以当6x，336108h一、填空题（每小题4分，本题共20分）⒈函数24)2(2xxxf，则)(xf62x．⒉当x0时，xxxf1sin)(为无穷小量.⒊若y=x(x–1)(x–2)(x–3)，则y(1)=2．⒋xxxd)135(1132．⒌微分方程1)0(,yyy的特解为xye.二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈函数)1ln(1)(xxf的定义域是（C）．A．),1(B．),1()1,0(C．),2()2,1(D．),2()2,0(⒉曲线1e2xy在2x处切线的斜率是（D）．A．2B．2eC．4eD．42e⒊下列结论正确的有（B）．A．若f(x0)=0，则x0必是f(x)的极值点B．x0是f(x)的极值点，且f(x0)存在，则必有f(x0)=0C．x0是f(x)的极值点，则x0必是f(x)的驻点D．使)(xf不存在的点x0，一定是f(x)的极值点⒋下列无穷积分收敛的是（A）．A．02dexxB．1d1xxC．1d1xxD．0dinxxs⒌微分方程xyxyylncos)(2)4(3的阶数为（D46lim222xxxx4523lim)2)(2()2)(3(lim22xxxxxxxx）．A.1；B.2；C.3；D.4三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限46lim222xxxx．⒉设xxy3cos5sin，求yd.)sin(cos35cos52xxxyxxx2cossin35cos5xxxxyd)cossin35cos5(d2⒊计算不定积分xxxxxdsin33xxxxxdsin33=cxxxcos32ln323⒋计算定积分0dsin2xxx0dsin2xxx2sin212dcos21cos21000xxxxx四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为43m的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x，高为h，表面积为S，且有24xh所以,164)(22xxxhxxS2162)(xxxS令0)(xS，得2x，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2hx时水箱的表面积最小.此时的费用为1604010)2(S（元）一、填空题（每小题4分，本题共20分）⒈函数xxxf2)1(2，则)(xf12x．⒉xxx1sinlim1．⒊曲线xy在点)1,1(处的切线方程是2121xy．⒋若cxxxf2sind)(，则)(xfin2x4s．⒌微分方程xyxyycos4)(7)5(3的阶数为5．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈设函数xxysin2，则该函数是（D）．A．非奇非偶函数B．既奇又偶函数C．偶函数D．奇函数⒉当0x时，下列变量中为无穷小量的是（C）.A．x1B．xxsinC．)1ln(xD．2xx⒊下列函数在指定区间(,)上单调减少的是（B）．A．xcosB．x5C．2xD．x2⒋设cxxxxflnd)(，则)(xf（C）．A.xlnlnB.xxlnC.2ln1xxD.x2ln⒌下列微分方程中，（A）是线性微分方程．A．xyyxyxlnesinB．xxyyye2C．yyxyeD．yyyxln2三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限623lim222xxxxx．原式5131lim)3)(2()2)(1(lim22xxxxxxxx⒉设xxy2cos，求yd.2ln221sinxxxyxxxyxd)2sin2ln2(d⒊计算不定积分xxd)12(10xxd)12(10=cxxx1110)12(221)12(d)12(21⒋计算定积分20dsinxxx20dsinxxx20cosxx1sindcos2020xxx四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知22108,108xhhxxxxxxxhxy432108442222令043222xxy，解得6x是唯一驻点，因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以6x是函数的极小值点，即当6x，336108h时用料最省.一、填空题（每小题4分，本题共20分）⒈函数74)2(2xxxf，则)(xf32x．⒉若函数0,0,2)(2xkxxxf,在0x处连续，则k2．⒊函数2)1(2xy的单调增加区间是).1[．⒋dxex0221．⒌微分方程xyxyysin4)(5)4(3的阶数为4．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈设函数xxysin，则该函数是（B）．A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数⒉当x时，下列变量为无穷小量的是（A）.A．xxsinB．)1ln(xC．xx1sinD．xx1⒊若函数f(x)在点x0处可导，则(D)是错误的．A．函数f(x)在点x0处有定义B．函数f(x)在点x0处连续C．函数f(x)在点x0处可微D．Axfxx)(lim0，但)(0xfA⒋若)0()(xxxxf，则xxfd)(（C）.A.cxx23223B.cxx2C.cxxD.cxx2323221⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（B）A.)(lnddyxxy；B.xyxyedd；C.yxxyeedd；D.)ln(ddyxxy三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限234lim222xxxx．原式412lim)1)(2()2)(2(lim22xxxxxxxx⒉设xyxcos2，求ydxxyx21sin2ln2.xxxyxd)2sin2ln2(d⒊计算不定积分xxxde解：xxexd=cexexexexxxxd⒋计算定积分xxxdln113e1解：xxxdln113e12ln12)ln1d(ln113311eexxx四、应用题（本题16分）某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？解：设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为S，由已知hrV2，于是2rVh，则其表面积为rVrrhrS2π2π2π22222π4rVrS令0S，解得唯一驻点3π2Vr，由实际问题可知，当3π2Vr时可使用料最省，此时3π4Vh，即当容器的底半径与高分别为3π2V与3π4V时，用料最省．