概率论-中心极限定理

主要内容问题提出林德贝格-列维(中心极限定理)棣莫佛-拉普拉斯定理归纳小结例如:考虑大炮的射程.受风速、风向影响产生的误差；在很多实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响。如大炮炮身结构导致的误差；发炮士兵技术引起的误差等等。对我们来说重要的是这些随机因素的总的影响。大炮的射程受很多随机因素的影响:瞄准时的误差；中心极限定理的客观背景一、问题的提出研究表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.下面我们来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的分布函数的极限.可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.)()(111niiniiniinXDXEXYnnXnii1设随机变量,,,,21nXXX相互独立,服从同一分布,且有)(iXE,0)(2iXD),2,1(i,则随机变量之和niiX1的标准化变量)()(111niiniiniinXDXEXYnnXnii1的分布函数)(xFn,对Rx,一致地有二、中心极限定理定理4.6林德贝格-列维(中心极限定理))()(111niiniiniinXDXEXYnnXnii1)(limxFnn)(lim1xnnXPniin.)(de2122xΦttx的分布函数)(xFn,对Rx,一致地有（证略）定理（说明）)(}{lim1xxnnXPniin)(limxFnndtetx2/2211niinXnYn~近似地(0,1)N即，n充分大时，有nXnnii/11~近似地(0,1)N可化为niiXnX11记nX/~近似地(0,1)N则有大样本统计推断的基础1niiX~近似地2(,)Nnun某汽车销售点每天出售汽车数服从参数为2的泊松分布.若一年365天都经营汽车销售,且每天出售的汽车是相互独立的,求一年中售出700辆以上汽车的概率.解记Xi为第i天出售的汽车数量,2iiEXDX由.36521为一年的总销量XXXY利用林德贝格-列维中心极限定理,可得73073070017001700PYPY则有.8665.011.11则一年售出700辆以上汽车的概率近似为0.8665.例1：~(730,730)YN某餐厅每天接待400名顾客,设每位顾的消费额(元)服从(20,100)上的均匀分布,且顾客的消费额是相互独立的.试求:(1)该餐厅每天的平均营业额;(2)该餐厅每天的营业额在平均营业额760元的概率..4001iiXY而该餐厅每天的营业额为解设Xi为第i位顾客的消费额,Xi~U20,100.所以EXi60,DXi16003.例2：(1)该餐厅每天的营业额为2400060400)()(4001iiXEYE(2)利用林德贝格-列维中心极限定理,知1)31600400760(Φ2)76024000760(YP90.01)645.1(2这表明:该餐厅每天的营业额在23240到24760之间的概率近似为0.90.~N(24000,4001600/3)Y某人钓鱼平均每次钓到2kg,方差2.25kg2.问:至少钓多少次鱼,才能使总重量不少200kg的概率为0.95?解设此人共钓n次,各次钓到的鱼的重量为随机变量Xi,则EXi2,DXi2.25.niiXZ1令,根据林德贝格-列维中心极限定理,Z近似服从N2n,2.25n.例3：nnnnZPZP25.2220025.22200010023375.1nn.95.025.22200nn645.15.12200nn查表得.即n满足方程解方程,得n=113.12.因此,取n=114即可.则有棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,,,,21nXXX独立同分布，且具有数学期设随机变量望和方差：),,2,1(0)(,)(2kXDXEkk记)()(111niiniiniinXDXEXYnnXnii1~近似地)1,0(N考虑特殊情况:均服从参数为p的0-1分布于是有)1(1pnpnpXnii~近似地)1,0(N定理4.7棣莫佛-拉普拉斯定理,,,,21nXXX相互独立,均服从参数为p的设随机变量0-1分布，则对任意实数x，有)(})1({lim1xxpnpnpXPniindtetx2/221【棣莫弗-拉普拉斯中心定理】即，n充分大时，有)1(1pnpnpXnii~近似地)1,0(N~近似地))1(,(pnpnpNniinXY1,,,,21nXXX相互独立,均服从参数为p的设随机变量0-1分布，则对任意实数x，有)(})1({lim1xxpnpnpXPniindtetx2/2212、棣莫弗-拉普拉斯中心定理即，n充分大时，有)1(1pnpnpXnii~近似地)1,0(NniinXY1~),(pnB棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）意义：在实际应用中，只要n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。niinXY1~),(pnB~近似地))1(,(pnpnpNniinXY1该定理表明,当n时,二项分布以正态分布为极限分布.实际应用中,若随机变量),(~pnBX,只要n充分大,即有，),(npqnpNX近似地~或npqnpX，)1,0(N近似地~即有近似计算公式)()(}{npqnpaΦnpqnpbΦbXaP注1定理2表明正态分布是二项分布的极限3实际应用中当n很大时,分布，也称为“二项分布的正态近似”.2与“二项分布的泊松近似”相比较,两种近似都要求n很大.1如果p很小而np不太大时,采用泊松近似;2如果np5和n1p5同时成立时,采用正态近似.下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.例4设某保险公司有10000人投保,每人每年交保费12元,投保人每年的死亡率为0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属1000元,求(1)保险公司没有利润的概率;(2)每年利润不少于60000元的概率.解:设10000投保人中一年死亡X人，则显然有)006.0,10000(~BX保险公司一年的收入为：1210000元120000保险公司一年的支出为：元X1000（1）保险公司没有利润的概率为}1200001000{XP}120{XP}64.596012064.5960{1XP006.010000npEX60994.0006.010000)1(pnpDX64.59601()59.640拉普拉斯中心极限定理}120{1XP例4设某保险公司有10000人投保,每人每年交保费12元,投保人每年的死亡率为0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属1000元,求(1)保险公司没有利润的概率;(2)每年利润不少于60000元的概率.解:设10000投保人中一年死亡X人，则显然有)006.0,10000(~BX保险公司一年的收入为：1210000元120000保险公司一年的支出为：元X1000（2）每年利润不少于60000元的概率为}600001000120000{XP}60{XP}64.59606064.5960{XP)0(21拉普拉斯中心极限定理006.010000npEX60994.0006.010000)1(pnpDX64.59解令X表示同时要外线的电话机数,则X~B1000,0.05,且np50,np(1－p)47.5.根据棣莫佛-拉普拉斯定理,X近似服N50,47.5.假定安装k条外线,可使某单位有1000部内线电话,每部电话打外线的概率为0.05,问需要装多少外线,才能保证每部电话打外线时,即时接通的概率不小于0.95?95.0kXP例5.95.05.47505.47505.4750kkXP,645.15.4750k查表得1.6450.95.由单调性,应有解得k61.3.因此,安装62条外线即可.则有例6对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别是0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求来参加会议的家长数X超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。解:(1)以表示第k个学生来参加会议的家长kX)400,,2,1(k人数。易知的分布律为kX15.08.005.0210PXk有,1.1)(kXE.19.0)(kXD由林德贝格-列维中心极限定理，有则有,4001kkXX}450{XP}450{4001kkXP}19.040040045019.04001.1400{4001kkXP)147.1(11257.0例6对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别是0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求来参加会议的家长数X超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。解:(2)以Y表示只有一名家长来参加会议的学生数，则有)8.0,400(~BY于是，由拉普拉斯中心极限定理，有}340{YP}2.08.04008.04003402.08.04008.0400{YP}5.22.08.04008.0400{YP)5.2(9938.0林德贝格列维中心极限定理棣莫佛拉普拉斯定理中心极限定理独立同分布情形二项分布的正态近似内容小结棣莫佛(AbrahamdeMoivre)主要的贡献是在一般分布与概率论上,包括斯特林公式以及棣莫佛-拉普拉斯定理.法国数学家.发现了棣莫佛公式,将复数与三角学联系起来.1667-1754拉普拉斯(Pierre-SimonLaplace)法国著名的天文学家和数学家,天体力学的集大成者.1749-1827因著名杰作《天体力学》被誉为是法国的牛顿.首次提出“天体力学”这一学科名称.是现在广泛应用于各个领域的拉普拉斯变换和拉普拉斯方程的发现者.