河北省邢台市第一中学2015-2016学年高二数学12月月考试题理

1邢台一中2015-2016学年上学期第四次月考高二年级数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.抛物线2yx的准线方程是（）A．410yB．410xC．210yD．210x2.若抛物线pxy22的焦点与椭圆12622yx的右焦点重合，则p的值为A．2B．2C．4D．43.如果方程222kyx表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(0,+∞)B.(0,2)C.(-∞,1)D.(0,1)4.“1a”是“函数2()(1)fxx在区间[,)a上为增函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.曲线221(6)106xymmm与曲线22159xymm)95(m的()A.焦距相等B.离心率相等C.焦点相同D.顶点相同6.若椭圆22221(0)xyabab的离心率为32，则双曲线12222bxay的渐近线方程为（）A．2yxB．12yxC．4yxD．14yx7.下列有关命题的说法正确的是()．A．命题“若21x，则1x”的否命题为：“若21x，则1x”．B．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”C．命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题.2D．命题“xR使得210xx”的否定是：“xR均有210xx”．8.已知直线l:yxm()mR,若以点(2,0)M为圆心的圆与直线l相切于点P,且P在y轴上,则该圆的方程为（）A．22(2)8xyB．4)2(22yxC．22(2)8xyD．4)2(22yx9.设OABC是正三棱锥,1G是ABC的重心,G是1OG上的一点,且13OGGG,若OGxOAyOBzOC,则(,,)xyz为（）A．111444（，，）B．333444（，，）C．111333（，，）D．222333（，，）10.棱长为1的正方体1111ABCDABCD中,点NM,分别在线段11,BCAB上,且BNAM,给出以下结论:①MNAA1②异面直线11,BCAB所成的角为60°③四面体CADB11的体积为13④1111,BCCAABCA,其中正确的结论的个数为()A．1B.2C．3D．411.一个正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心）的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在过该球球心的一个截面上，则该正三棱锥的体积是（）A.312B.34C.33D.33412.已知双曲线)0,0(12222babyax的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）3A.)2,1(B.]2,1(C.),2[D.),2(第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13.抛物线2yx上的点到直线4380xy距离的最小值是．14.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC△的顶点(40)A，和(40)C，，顶点B在双曲线17922yx上，则BCAsinsinsin_____．15.已知点5,0A，1,3B，若圆2220xyrr上共有四个点QPNM,,,，使得MAB、NAB、PAB、QAB的面积均为5，则r的取值范围是．16.现有一个由长半轴为2,短半轴为1的椭圆绕其长轴按一定方向旋转180所形成的“橄榄球面”.已知一个以椭圆的长轴为轴的圆柱内接于该橄榄球面,则这个圆柱的侧面积的最大值是_____.三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（10分)已知以点)2,1(C为圆心的圆与直线01yx相切．（1）求圆C的标准方程；（2）求过圆内一点)25,2(P的最短弦所在直线的方程．18.(12分)已知点F是抛物线2:Cyx的焦点，点S是抛物线C上在第一象限内的一点，且5||4SF．以S为圆心的动圆与x轴分别交于两点A、B,延长,SASB分别交抛物线C于,MN两点。(1)当2AB时，求圆S的方程；（2）证明直线MN的斜率为定值．419.(12分如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，1AP，2AD，E为线段PD上一点，记PEPD．当12时，二面角DAEC的平面角的余弦值为23．（1）求AB的长；（2）当23时，求异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．20.(12分)如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，BCAB，BCCDAB22，EAEB．（1）求证：ABDE；（2）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（3）线段EA上是否存在点F，使EC//平面FBD？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．21.(12分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(.（1）求双曲线C的方程；（2）若直线2:kxyl与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2OBOA（其中O为原点）.求k的取值范围.22.(12分)已知两定点(60),(60)MN，，,动点P满足0PMPN,由点P向x轴作垂线PQ,垂足为Q,点R满足(31)PRRQ,点R的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)直线l与x轴交于点E，与曲线C交于A、B两点，是否存在点E，使得2211EAEB为ECABDP5定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由高二年级数学（理科）答案一、选择题ADDAAACAADBC二、填空题13.43;14.43;15.),5(;16.4.三、解答题17.解：（1）圆的半径r==，所以圆的方程为……5分（2）01324yx……10分18.解：(1)设00(,)Sxy(00y)，由已知得1(,0)4F，则01544SFx得01x，01y，点(1,1)S………4分设圆S的半径为r，则2211()22rAB，故圆S的方程为：22(1)(1)2xy……6分(2)设直线SA的方程为1(1)ykx（0k），11(,)Mxy，22(,)Nxy由21(1)ykxyx，得210kyyk，解得111yk22(1)1(,1)kMkk………8分由已知SASB，直线SB的斜率为k，22(1)1(,1)kNkk………10分222211111(1)(1)2MNkkkkkkk即直线MN的斜率为定值12………12分19.解：（1）(1)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，6所以,,ABADAP两两垂直．如图，以A为坐标原点，,,ABADAP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系A­xyz，则D(0，2，0)，E10,12（,），1(0,1,)2AE.设B(m，0，0)(m0)，则C(m，2，0)，AC→＝(m，2，0)．设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则n1·AC→＝0，n1·AE→＝0，即20,10,2mxyyz可取n1＝2(,1,2)m．………4分又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，………4分由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝23，即222345m，解得m＝1.,即AB=1.………7分(2)易得41(001),(100),(120),(0),33PBCE，，，，，，，，21(101),(1)33BPCE，，，，141+33BPCE,142,3BPCE……10分4273cos,71423BPCEBPCEBPCE,所以异面直线BP与直线CE所成角的余弦值为277.………12分20.【解法一】（Ⅰ）取AB中点O，连结EO，DO．因为EAEB，所以ABEO......①．7因为四边形ABCD为直角梯形，BCCDAB22，BCAB，所以四边形OBCD为正方形，所以ODAB......②．又OODEO.......③由①②③可知AB平面EOD．所以EDAB．………4分(2)因为平面ABE平面ABCD，且CBAB,CB平面EAB，故CEB就是直线EC与平面ABE所成的角，不妨设1BC,则22ABEB，,3CE3sin3CBCEBCE,故直线EC与平面ABE所成角的正弦值为33。-------------8分（3）存在点F，且13EFEA时，有EC//平面FBD．证明如下：连结AC交BD于M,由AB∥CD，易证MAB与MCD相似，21ABCDAMCM.若线段EA上存在点F，使EC//平面FBD,则FMEC//由平行线分线段成比例,得31CACMEAEF---------------------12分【解法二】（1）同解法一（2）因为平面ABE平面ABCD，且ABEO，所以EO平面ABCD，所以ODEO．由OEODOB,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyzO．因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OEODOBOA，设1OB，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)OABCDE．所以)1,1,1(EC，平面ABE的一个法向量为(0,1,0)OD．设直线EC与平面ABE所成的角为，所以||3sin|cos,|3||||ECODECODECOD，8即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为33．…8分（3）存在点F，且13EFEA时，有EC//平面FBD．证明如下：由)31,0,31(31EAEF，)32,0,31(F，所以)32,0,34(FB．设平面FBD的法向量为v),,(cba，则有0,0.BDFBvv所以0,420.33abaz取1a，得)2,1,1(v．因为ECv0)2,1,1()1,1,1(，且EC平面FBD，所以EC//平面FBD．即点F满足13EFEA时，有EC//平面FBD．…………12分21.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222byax).0,0(ba由已知得.1,2,2,32222bbaca得再由故双曲线C的方程为.1322yx-------------------4分（Ⅱ）将得代入13222yxkxy.0926)31(22kxxk由直线l与双曲线交于不同的两点得.0)1(36)31(36)26(,0312222kkkk即.13122kk且①设),(),,(BBAAyxByxA，则22629,,1313ABABkxxxxkk------------------8分22,ABABOAOBxxyy由得而2)(2)1()2)(2(2BABABABABABAxxkxxkkxkxxxyyxx9.1373231262319)1(22222kkkkkkk于是22372,31kk即22390,31kk解得.3312k②由①、②得.1312k,故k的取值范围为).1,33()33,1(-------12分22.解：(1)易知点P的轨迹方程为：226xy，设(,)Rxy，则由(31)PRRQ可得(,3)Pxy,代入226xy得：22(3)6xy，即22162xy，这就是曲线C的方程。-----------5分(2)假设存在点E，使得2211EAEB为定值，设0(,0)Ex，当直线AB与x轴重合时，有202222220001221