个人住房抵押贷款以及其它金融问题

个人住房抵押贷款以及其它金融问题数学实验正如文学诱导人们的情感一样，数学启发人们的想象与推测。—Chaserole方法就是把我们应注意的事物进行适当的整理和排列.─R.Descartes实验目的●介绍差分方程●复习：数列及其极限、线性代数方程组、矩阵及其运算、方程的求根●运用Mathematica进行迭代运算、求根、矩阵等运算●学习相关问题建模实际案例1998年12月，中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如下表所列:●中国人民银行再次调整存、贷款利率贷款期限半年1年3年5年5年以上利率/％6.126.396.667.207.56(当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利率为对应相邻两数中较大者.)北京商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整，公布新的利率表和还款表●北京个人住房商业性贷款利率再次降低个人住房商业抵押贷款年利率表贷款期限1年2年3年4年5年利率（％）6.1206.2556.3906.5256.660个人住房商业抵押贷款(万元)还款表贷款期年12345月1224364860月还款额到期一次还清444.356305.9896237.2649196.4118本息总额10612.010664.5411015.6311388.7111784.71提出问题个人住房商业抵押贷款年利率表和个人住房商业抵押贷款还款表是如何根据中央银行的贷款利率水平制定的？分析一下年利率和月还款额表：贷款期限1年2年3年4年5年利率（％）6.1206.2556.3906.5256.660贷款期年12345月1224364860月还款额到期一次还清444.356305.9896237.2649196.4118本息总额10612.010664.5411015.6311388.7111784.71建立模型(差分方程)则由Ak到Ak+1，应有Ak+1-Ak＝rAk-m即得模型Ak+1＝(r＋1)Ak-m(k=0,1,…)其中r为利息，当然应该用月利率r＝0.06255/12＝0.0052125设贷款后第k个月时欠款余数为Ak,月还款额m元另外显然有A0＝10000分析求解●月还款额的确定令Bk＝Ak－Ak－1,(k＝1，2,...)推得Bk+1＝(1+r)Bk(等比)从而Bk＝B1(1+r)k－1利用以上关系导出Ak＝A0(1+r)k－[(1+r)k－1-1]m/rA0＝10000,k＝24,A24=0r＝0.0052125M＝[A0(1+r)kr]/[(1+r)k－1]=52.125(1.0052125)24/[(1.0052125)24－1]In[1]:=52.125*1.0052125^24/(1.0052125^24-1)Out[1]=444.356考虑二年期情况：使用Mathematica●年利率如何得到比较央行公布贷款利率与北京住房商业贷款，有数字相同：6.12％、6.66％，但年限不同中间年限的利率如何得出(建议作图，从图上得到线性插值)任务1：制定住房商业性贷款利率表和还款表●还款周期越短越好吗如果逐年还款，对二年期贷款，用公式Ak＝A0(1+r)k－[(1+r)k－1]m/r(r应为年利率)算得年还款额为5473.867元,本息总额10947.63元，比逐月还款本息总额10664.54元多任务2：讨论还款周期问题其它金融或经济问题●养老保险某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元.●问题交保险费所得利率如何？(假定投保人所得完全由其交款及利息产生)(注意：显然结果依于投保人寿命)设投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的累计总额Fk为，那么易得到数学模型为分段表示的差分方程Fk+1=Fk(1+r)＋p,k=0,1,…,NFk+1=Fk(1+r)－q,k=N+1,…,M其中p、q分别为60岁前所交月保险费和60岁起所领月养老金的数目(元)，r是所交保险金获得的利率，N,M分别是自投保起至停交保险费和至停领养老金的时间(月).显然M依赖于投保人的寿命,取M=75(岁)（统计平均值）以25岁起投保为例,则有P=200,q=2282;N=420,M=600如前可推出差分方程的解Fk=F0(1+r)k＋[(1+r)k－1]p/r,k=0,1,…,NFk=FN(1+r)k－N＋[(1+r)k－1]q/r,k=N+1,…,M在前一式取k=N，后一式取k=M，且注意F0=FM=0，消去FN，(1+r)M－(1+q/p)(1+r)M－N+q/p＝0记x＝1+r，代入数据x600－12.41x180＋11.41＝0(Newton法,方程求根)使用MathematicaIn[2]:=FindRoot[x^600-12.41x^180+11.41==0,{x,1.01}]Out[1]={x-1.00485}x＝1.00485,r＝0.00485交保险费所得月利率为0.00485年利率为0.0582某保险公司的推出结合养老的寿险计划，例子为：若40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费期20年至60岁任务3：一个人寿保险计划的利率分析试分析：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少？若该投保人的寿命为74岁，其交保险费所获得的实际年利率又是多少？则在他生存时期，45岁时(投保满5年)可获返还补贴4000元，50岁时可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴；而在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金20000元每过一周A城公司基金10％→B城公司A城公司←B城公司基金12％●金融公司的支付基金的流动(形式的推广)新问题总额$540万基金,放置A公司和B公司要求：周末结算时总额仍为$540万A公司基金额A0＝$260万B公司基金额B0＝$280万●问题资金流动趋势？会否少于警戒数＄220(万)●数学模型设第k周末结算时,A城公司和B城公司支付基金数分别为ak和bk(单位:万美元),则有差分方程组ak+1=0.9ak+0.12bkbk+1=0.1ak+0.88bk●观察数据通过对数据的观测估计结论(12周数据)For[a[0]=260;b[0]=280;k=0,k=12,k++,Print[k];a[k+1]=0.9a[k]+0.12b[k];Print[a[k]//N];b[k+1]=0.1a[k]+0.88b[k];Print[b[k]//N]]使用MathematicaA城公司基金数在逐步增加,但增幅逐步变小;B城公司的基金数变化则正好相反.任务4ak是否有上界、bk是否有下界?bk是否会小于220？●矩阵形式导出表达式进一步的任务根据两地公司的业务情况，该金融机构决定在每周末结算时，将A城公司的基金增加$6万，相应地B城公司的支付基金减少$6万.此时，机构中一位的职员(他曾就读于某大学数学系)向机构负责人建议将增减数额改为$5.5万.任务5:试问机构负责人是否应该采纳这个建议，为什么？此任务可改作修改，例如周末分别给A、B公司增减加资金3％，可尝试讨论任务6一个购房贷款的比较房产商介绍的一家金融机构提出：贷款10万元，每半月还款440.33元,22年还清,不过由于中介费手续费等原因，贷款时要预付4000元..小李夫妇曾经准备申请商业贷款10万元用于购置住房，每月还款880.66元，25年还清.小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少三年还款期意味着减少还款近3万2千元，而每月多跑一趟，那不算什么.这机构的条件似乎还是蛮优惠的.试分析情况是否这样？谢谢各位!积极思考●怎样完成实验任务合作讨论有所选择自己动手