电磁场试题6

6.1一个wh的单匝矩形线圈放在时变磁场tBysinˆ0eB中。开始时。线圈面的法线n与y轴成角，如图所示。求(1)线圈静止时的感应电动势；(2)线圈以角速度绕x轴旋转时的感应电动势。解：(1)线圈静止时，感应电动势是由磁场随时间变化引起的，线圈回路的磁通-------------------------线圈静止时的感应电动势为------------------------(2)线圈以角速度旋转时，穿过线圈的磁通变化既有因磁场随时间变化引起的又有因线圈转动引起的。此时线圈面的法线n是时间的函数，表示为，，1234nαwh0zyx0zyxB()t故线圈回路的总磁通为------------------线圈以角速度绕x轴旋转时的感应电动势为----------------------6.2证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为零。即0)(IIISDJdcscdt证明：------------------------可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为---------------------上式右边应用散度定理可以写为----------------------------------故：通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量I为零。6.3计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的电场为tEsin0，铜的电导率m/S108.57，0。解：铜中的传导电流大小为-------------------------铜中的位移电流大小为-----------------------因此，位移电流密度与传导电流密度的振幅比值为-------------------6.4在无源的自由空间中，已知磁场强度(A/m))10103cos(1063.2ˆ95ztyeH求位移电流密度dJ。解：铜中的传导电流大小为-------------------------无源的自由空间中，麦克斯韦方程为-------------------------所以位移电流密度为------------------6.5一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体半径为b，长度为l，电极间的介电常数为。当外加低频电压tUUmsin时，求介质中的位移及穿过半径为)(brar的圆柱面的位移电流。证明此位移电流等于电容器引线中的传导电流。解：对于低频电压，可认为电容器中电场的空间分布与加直流电压时相同，由高斯定律--------------------------可得电极间的电场为-----------------------------------------------所以可得-----------------------而位移电流密度----------------------穿过半径为r的柱面的位移电流--------------------式中，正是引线中的传导电流，即6.6试求一段半径为a，电导率为，载有直流电流I的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。解：如图所示，一段长度为的直导线，其轴线与圆柱坐标系的Z轴重合，直流电流将均匀分布在导线的横截面上，于是有---------------------，--------在导线表面----------------------------因此，导线表面的坡印廷矢量-----------------------它的方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有-----------式中R为导线段的电阻。上式表明，从导线表面流入的电磁能流等于导线内部欧姆热损耗功率。这验证了坡印廷定理。6.7证明麦克斯韦方程组隐含着电流连续性方程。tJ证明：电流连续性方程表示式为--------------------------------对于麦克斯韦方程组------------------------------对第一式两边取散度，得------------------因为旋度的散度为零，所以-----------------------------将麦克斯韦方程组第四式代入上式，可得电流连续性方程为------------------------------6.9在无源区求均匀导电媒质中电场强度和磁场强度满足的波动方程。0tt222＝－－ΕΕΕ0tt222＝－－HHH解：考虑到各向同性、线性、均匀的导电媒质和无源区域，由麦克斯韦方程有--------------------------利用矢量恒等式，并且代入式和式得----------------------所以，电场强度E满足的波动方程为------------------------同理，可得磁场强度H满足的波动方程为---6.10已知在无源的自由空间中，电场强度为)cos(ˆ0ztxeΕ其中0、为常数，求H。解：所谓无源，就是研究区域内没有场源电流和电荷，即。将上式代入麦克斯韦方程式，可得---------------------------------------由上式可以写出：--------------------------------------------------------------------------------------------------------