电磁学(赵凯华)答案[第2章稳恒磁场]

1.一边长为2a的载流正方形线圈，通有电流I。试求：(1)轴线上距正方形中心为r0处的磁感应强度；(2)当a=1.0cm,I=5.0A,r0=0或10cm时，B等于多少特斯拉？解（1）沿轴向取坐标轴OX，如图所示。利用一段载流直导线产生磁场的结果，正方形载流线圈每边在点P产生的磁感应强度的大小均为:,式中:由分析可知，4条边在点P的磁感应强度矢量的方向并不相同，其中AB边在P点的B1方向如图所示。由对称性可知，点P上午B应沿X轴，其大小等于B1在X轴投影的4倍。设B1与X轴夹角为α则:把r0=10cm,a=1.0cm,I=5.0A带入上式，得B=3.9×10-7(T)。把r0=0cm,a=1.0cm,I=5.0A带入上式，得B=2.8×10-7(T)。可见，正方形载流线圈中心的B要比轴线上的一点大的多。2.将一根导线折成正n边形，其外接圆半径为a，设导线栽有电流为I，如图所示。试求：(1)外接圆中心处磁感应强度B0；(2)当n→∞时，上述结果如何？解:（1）设正n边形线圈的边长为b，应用有限长载流直导线产生磁场的公式，可知各边在圆心处的感应强度大小相等，方向相同，即：所以，n边形线圈在O点产生的磁感应强度为：因为2θ=2π/n,θ=π/n，故有：由右手法则，B0方向垂直于纸面向外。（2）当n→∞时，θ变的很小，tanθ≈θ，所以：代入上述结果中，得：此结果相当于一半径为a，载流为I的圆线圈在中心O点产生磁感应强度的结果，这一点在n→∞时，是不难想象的。3.如图所示，载流等边三角形线圈ACD，边长为2a，通有电流I。试求轴线上距中心为r0处的磁感应强度。解:由图可知，要求场点P的合场强B，先分别求出等边三角形载流线圈三条边P点产生的磁感应强度Bi，再将三者进行矢量叠加。由有限长载流导线的磁场公式可知，AC边在P点产生的磁感应强度BAC的大小为：由于⊿ACP为等腰三角形，且PC垂直AC，即：代入上述结果中，得：由右手螺旋定则可知，BAC的方向垂直于ACP平面向外，如图所示。由对称性可知，AC，CD，DA三段载流导线在P点产生的磁感应强度BAC、BCD、BDA在空间方位上对称，且它们在垂直于Z轴方向上的分量相互抵消，而平行于Z轴方向上的分量相等，所以：根据等边三角形性质，O点是⊿ACP的中心，故:，并由⊿EOP可知sinα=,所以P点的磁感应强度BP的大小为：磁感应强度BP的方向沿Z轴方向。4.一宽度为b的半无限长金属板置与真空中，均匀通有电流I0。P点为薄板边线延长线上一点，与薄板边缘距离为d。如图所示。试求P点的磁感应强度B。解:建立坐标轴OX，如图所示，P点为X轴上一点。整个金属板可视为无限多条无限长的载流导组成，取其任意一条载流线，其宽度为dx，上载有电流dI=I0dx/b，它在P点产生的场强为：dB的方向垂直纸面向里。由于每一条无限长直载流线P点激发上的磁感应强度dB具有相同的方向，所以整个载流金属板在P点产生的磁感应强度为各载流线在该点产生的dB的代数和，即：BP方向垂直纸面向里。5.两根导线沿半径方向引到金属环上的A、C两点，电流方向如图所示。试求环中心O处的磁感应强度。解:由毕-萨定律可知，两载流直线的延长线都通过圆心O，因此她们在O点产生的磁感应强度为零。图中电流为I1的大圆弧在O点产生的B2的方向垂直纸面向里。应用载流圆线圈在中心处产生磁场的结果B=μ0I/2r，可知B1、B2的大小为:则O点的磁感应强度的大小为:设大圆弧和小圆弧的电阻为R1、R2，则:有:,因大圆弧和小圆弧并联，故I1R1=I2R2，即:,代入表达式得B0=0。6.如图所示，一条无限长导线载有电流I，该导线弯成抛物线形状，焦点到顶点的距离为a，试求焦点的磁感应强度B。解:本题采用极坐标。用毕-萨定律得电流元Idl在焦点P处产生的磁感应强度为:,由于Idl与r的夹角为θ，由图可知，Idlsinθ=Irdψ,所以dB的大小为:,方向由右手螺旋定则可知，垂直纸面向外。由于所有电流元Idl在P点产生的磁感应强度方向相同，所以P点的总产生的磁感应强度为:,因抛物线的极坐标方程为:,因此:7.如图所示，两块无限大平行载流导体薄板M、N，每单位宽度上所载电流为j，方向如图所示，试求两板间Q点处及板外P点处的磁感应强度B。解:无限长载流直导线产生磁感应强度的公式B=μ0Ir0/2πr可知，M板Q点激发的磁感应强度BM的大小为：,dBx=-dBcosα，dBy=dBsinα由对称性可知：,设Q点到M板的垂直距离为a，则：由几何关系可知：a/r=cosα,x=tanα,dx=ada/cos2α，代入上式：BM的方向沿X轴方向，因此，Q点的磁感应强度BM+BN=0，采用同样的方法得，M板在P点产生磁感应强度为：N板在P点产生磁感应强度为：,表明在P点两块板产生磁感应强度相同，所以P点的B为B=BM+BN=-μ0ji，B的方向沿X轴负向。8.如图所示，通有电流强度为I的细导线，平行的、紧密的单层缠绕在半个木球上，共有N匝，设木球的半径为R，试求球心O点处的磁感应强度。解:由图可知，绕有载流导线的木球可看成是有无限多个不同半径的同心载流圆线圈组成，球心O在载流圆线圈的轴线上，则球心O点的磁感应强度B0是各个载流圆线圈在该点激发的磁感应强度的矢量和。如图坐标系OXY，在X轴线上距原点Ox处任取一弧宽为dl的圆环，半径为y，圆环上绕有dN匝导线，即：通过该圆环上的电流dI=IdN=2INdθ/π,由载流线圈在轴线上任意一点产生的磁感应强度公式，可知dI在O点激发的磁感应强度dB大小为：dB的方向沿X轴正向。由几何关系：x=Rsinθ,y=Rcosθ,带入上式得：由于所有载流线圈在O点激发的B方向相同，故O点总的磁感应强度可由矢量积分简化为标量积分，即：B0的方向沿X轴正向。9.均匀带电的球面绕着它的某一直径作匀速旋转。试求在该球面上各点的磁感应强度B.解:如图所示，均匀带电的球面绕沿X轴的直径以角速度ω旋转。球面上任意面元所带电荷因旋转而形成电流。将球面分成许多环状球带，每一球带因旋转而形成的电流在X轴上任意一点P处都将产生磁感应强度dB。设球面半径为R，面电荷密度为σ，绕沿X轴的直径以角速度为ω旋转，球心在原点O。取从φ到（φ+dφ）的环状球带，其面积为dS=2πrdl=2πrRdφ，所带电量为dQ=σdS=2πRrσdφ，由于旋转，该球带上电荷形成沿环状带流动的电流，电流强度为dI=dQ/T,T为旋转周期，故：dI=ωdQ/2π=ω2πRrσdφ/2π=Rσωrdφ设该环状球带的中心位于x处，则：x=Rcosφdx=-Rsinφdφ=-rdφ因此，dI可表为dI=-Rσωdx，该环状球带dI在直径上任意一点P点产生的dB为：,式中i是X轴方向的单位矢量，式中的r为r2=R2△x2，把r2和dI的表达式带入，得：,因φ取值从0到π，相应的x从R到-R，故式中dx为负值，若σ0则dB与I同方向。场点P总的磁感应强度为：式中：,故：,由于BP与直径上各点P的位置无关，所以在作为转轴的直径上磁感应强度B处处相同。10.真空中有两点电荷±q，相距为3d，她们都以角速度ω绕一与两点电荷连线垂直的轴转动，+q到轴的距离为d。试求转轴与电荷连线交点处的场强B。解:设转轴与电荷连线交点为O。根据运动电荷产生磁场公式，可知+q在O处产生的磁感应强度为：,方向由右手法则可知与ω相同。同理，-q在O处产生的磁感应强度为：,方向由右手法则可知与ω相反，则由场叠加原理，得O点的总磁感应强度为：,B的方向与ω相同。11.一边长为a=0.1m，带电量为q=1.0×10-10C的均匀带电细棒，以速度v=1.0m/s沿X轴正方向运动。当运动到与Y轴重合时，细棒的下端到原点O的距离为l=0.1m，如图所示。试求此时坐标原点O处的磁感应强度B。解:均匀带电细棒运动时，将产生磁场。在均匀带电细棒上，纵坐标为y处取一线元dy，该线元上的带电量为dq=λdy=qdy/a,根据运动电荷产生磁场公式可知，dq在O点产生的磁感应强度的大小为:方向垂直于纸面向里。带电细棒在O点产生的磁感应强度的大小为:方向垂直于纸面向里。12.如图（a）所示的电缆，由半径为r1的导体圆柱和同轴的内外半径为r2和r3的导体圆桶构成。电流I0从导体圆柱流入，从导体圆桶流出，设电流都是均匀分布在导体的横截面上，以r表示到轴线的垂直距离。试求r从0到∞的范围内各处的磁感应强度。解:取电缆的中央轴为Z轴，把电缆中的电流分解为一系列与Z轴平行的无限长直流导线。这些载流导线在空间各点产生的磁场均无z分量，因此电缆电流在空间的磁场也无z分量。若电缆电流的磁场有径向分量Br，则由对称性，在任意以Z轴为中央轴，以r为半径的柱面上各点的Br应相同。取相应的柱形高斯面，如图（b）所示，则有:因B无z分量，故等式右边前两项为零，于是:，由高斯定理可知:，h所以Br=0。即电缆电流的磁场无径向分量。在半径为r的周围上各点的B大小相同，记为B(r),B(r)的方向沿切向，如图（c）所示。去积分环路L，由安培环路定理可知:，若0≤r≤r1,则:故:；若r1≤r≤r2,则:；若r2≤r≤r3,则:;若rr3,则:结果表明，在电缆电流的外部，磁感应强度B为零，磁场被约束在电缆内部。13.如图所示，为均匀密绕的无限长直螺线管的一端，半径为R，O点为该端面的中心，已知螺线管单位长度上的线圈匝数为n，通过电流为I。试求；端面近中心处的磁感应强度B的轴向分量和径向分量。解:取坐标系如图。螺线管中心轴线上靠近端面中心的P点，设OP=zR，则有:cosβ1≈-1,cosβ2≈-z/R。所以端面近中心处的磁感应强度B的轴向分量为:以端面O点为中心做半径为r，高为dz的圆形高斯面S，设下底面的轴向磁场为Bz，上底面的轴向磁场为Bz+dBz。侧面的径向磁场分量为Br，根据高斯定理，有:整理上式，得端面近中心处的磁感应强度B径向分量Br为:14.如图所示，一半径为R的无限长直非导体圆筒均匀带电，电荷面密度为σ，若受到外力矩的作用，圆筒从静止开始以匀角加速度β绕OO’轴转动，试求t时刻圆筒内为均匀磁场。解:管外磁场强度为零。过管内场点P点作一矩形积分回路abcda。由安培环路定理可知，有:分析系统可知，积分回路所包围的电流的代数和为:由题可知ω=ω0+βt,t=0时ω0=0,则ω=βt,所以:因此:即得B=μ0σRβt,B的方向根据σ的情况而定。由结果分析可知，圆筒内部的磁场与r无关。15.匀强磁场中有一无限大均匀载流平面，位于z=0，其电流面密度沿X方向，j0=100A/m，如图所示。现测得载流平面上方（z0）的磁感应强度B2。解:根据题意选择坐标系，如图所示。设无限大载流平面在其两侧激发的磁感应强度分别为B’1和B’2，由于系统具有面对称性，由安培环路定理可知:,B’1的方向沿Y轴负方向，B’2的方向沿Y轴正方向。设原来匀强磁场的磁感应强度为:B1=B0+B’1,所以:B0=B1-B’1=B1k+1/2μ0j0j0,同理可得，载流平面下方（z0）的磁感应强度为:B2=B0+B’2=(1/2μ0j0+1/2μ0j0)j+B1k=μ0j0j+B1k,代入相应数值，得：B2与Y轴夹角为：