电路原理(邱关源)习题答案第八章相量法

第八章相量法求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL的相量表示；（3）RLC元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。这就是用相量分析电路的理论根据。8－1将下列复数化为极坐标形式：（1）551jF；（2）342jF；（3）40203jF；（4）104jF；（5）35F；（6）20.978.26jF。解：（1）ajF55125)5()5(22a13555arctan(因1F在第三象限)故1F的极坐标形式为135251F（2）13.1435)43arctan(3)4(34222jF（2F在第二象限）（3）43.6372.44)2040arctan(40204020223jF（4）9010104jF（5）180335F（6）19.7361.9)78.220.9arctan(20.978.220.978.2226jF注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即jaeajaaF21,它们相互转换的关系为：2221aaa12arctanaa和cos1aasin2aa需要指出的，在转换过程中要注意F在复平面上所在的象限，它关系到的取值及实部1a和虚部2a的正负。8－2将下列复数化为代数形式：（1）73101F；（2）6.112152F；（3）1522.13F；（4）90104F；（5）18051F；（6）135101F。解：（1）56.992.2)73sin(10)73cos(1073101jjF（2）85.1376.56.112sin156.112cos156.112152jF（3）56.006.1152sin2.1152cos2.11522.13jF（4）1090104jF（5）518051F（6）07.707.7)135sin(10)135cos(10135101jF8－3若175600100A。求A和。解：原式=sin175cos17560sin60cos100jjaA根据复数相等的定义，应有实部和实部相等，即cos17510060cosA虚部和虚部相等sin17560sinA把以上两式相加，得等式0206251002AA解得069.20207.10222062541001002A所以505.01752307.10217560sinsinA34.308－4求8－1题中的62FF和62FF。解：19.7361.913.1435)20.978.2()34(62jjFF68.14305.4832.21605.4894.6952.019.7361.913.143520.978.23462jjFF8－5求8－2题中的51FF和51FF。解：1805731051FF5)73sin(10)73cos(10j27.10278.956.908.2j10721807321805731051FF8－6若已知。,)60314sin(10,)60314cos(521AtiAtiAti)60314cos(43（1）写出上述电流的相量，并绘出它们的相量图；（2）1i与2i和1i与3i的相位差；（3）绘出1i的波形图；（4）若将1i表达式中的负号去掉将意味着什么？（5）求1i的周期T和频率f。解：（1）)120314cos(5)18060314cos(5)60314cos(51ttti)30314cos(10)60314sin(102tti故1i，2i和3i的相量表达式为AIAIAI6024,30210,12025321其相量图如题解图（a）所示。题解8－6图（2）90)30(1202112180601203113（3）1i（t）的波形图见题解图（b）所示。（4）若将1i（t）中的负号去掉，意味着1i的初相位超前了180。即1i的参考方向反向。（5）1i（t）的周期和频率分别为mssT2002.031422HzTf5002.0121注：定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差，因此在比较相位差时，两个正弦量必须满足（1）同频率；（2）同函数，即都是正弦或都是余弦；（3）同符合，即都为正号或都为负号，才能进行比较。8－7若已知两个同频正弦电压的相量分别为VU30501VU150100,2，其频率Hzf100。求：（1）写出1u，2u的时域形式；（2）1u与2u的相位差。（1）Vtfttu)30628cos(250)302cos(250)(1Vtfttu)180150628cos(2100)1502cos(2100)(2Vt)30628cos(2100（2）因为VU30501VVU30100150100,2故相位差为03030，即1u与2u同相位。8－8已知：Vttu)120314cos(2220)(1Vttu)30314cos(2220)(2（1）画出它们的波形图，求出它们的有效值、频率f和周期T；（2）写出它们的相量和画出其相量图，求出它们的相位差；（3）如果把电压2u的参考方向反向，重新回答（1），（2）。解：（1）波形如题解8－8图（a）所示。题解8－8图有效值为Vuu220212u频率Hzff502314221周期sfTT02.0501121（2）1u和2u的相量形式为VU1202201VU302202故相位差为1503012021相量图见题解图（b）所示。（3）2u的参考方向反向，2u（t）变为－2u（t），有效值、频率和周期均不变，－2u（t）的相量为VU150200180302202故1u和2u的相位差为30)150(12021波形图和向量图见题解图（a）和（b）。8－9已知一段电路的电压、电流为：Vtu)2010sin(103Ati)5010cos(23（1）画出它们的波形图和向量图；（2）求出它们的相量差。解：（1）Vttu)11010cos(10)2010sin(1033，故u和i的相量分别为VU110210AI5022其波形和相量图见题解图(a)和图（b）所示。题解8－9图（2）相位差60)50(110iu，说明电压落后于电流60。8－10已知图示三个电压源的电压分别为：Vtua)10cos(2220，Vtub)110cos(2220，Vtuc)130cos(2220，求：（1）3个电压的和；（2）bcabuu,；（3）画出它们的相量图。题解8－10图解：au，bu，cu的相量为VUa10220VUb110220VUc130220（1）应用相量法有13022011022010220cbaUUU0即三个电压的和0)()()(tututucba（2）11022010220baabUUUV403220130220110220cbbcUUUV803220（3）相量图如题解8－10图所示。题解8－10图8－11已知图（a）中电压表读数为VV30:1；VV60:2；图（b）中的VV15:1；VV80:2；VV100:3。（电压表的读数为正弦电压的有效值。）求图中电压sU。题8－11图解法一：（a）图：设回路中电流0II，根据元件的电压、电流相量关系，可得题8－11图VRIIRUR0300VIXIjXULLL906090则总电压VjUUULRS6030所以su的有效值为VUS08.67603022（b）图：设回路中电流相量AII0，因为VRIIRUR0150VIXIjXULLL908090VIXIjXUCCC9010090所以总电压VjjjUUUUCLRS20151008015故su的有效值为VUS25201322解法二：利用相量图求解。设电流0II为参考相量，电阻电压RU与I同相位，电感电压LU超前I90，电容电压cU要滞后I90，总电压sU与各元件电压向量构成一直角三角形。题解8-11图（a）和（b）为对应原图（a）和（b）的相量图。由题解图（a）可得VUUULRS08.6760302222由题解图（b）可得VUUUULCRS258)80100(15)(2222题解8－11图注：这一题的求解说明，R，L，C元件上电压与电流之间的相量关系、有效值和相位关系（如下表所示）是我们分析正弦稳态电路的基础，必须很好地理解和掌握。元件相量关系有效值关系相位关系相量图电阻RRRIRURRRIUiu8－12已知图示正弦电流电路中，电流表的读数分别为AA5:1；AA20:2；AA25:3。求：（1）图中电流表A的读数；（2）如果维持1A的读数不变，而把电源的频率提高一倍，再求电流表A的读数。题8－12图解法一：（1）R，L，C并联，设元件的电压为0UUUUUCLR根据元件电压、电流的相量关系，可得ARURUIR05AjAXUjXUILLL2090AjXUjXUICCC25902590应用KLC的相量形式，总电流相量为AjjjIIIICLR45255525205故总电流表的读数AI07.725（2）设0UUUUUCLR当电流的频率提高一倍后，由于ARURUIR05不变，所以UUR不电感LLLLIjXUIjXULL90iu电容CCCCIjXUCCCIXU90iu变，而LXL2增大一倍，CXC21减小一倍，因此，有20212LjUjXUILLAcjUjXUICC90509025221所以40550105jjjIIIICLR即，电流表的读数AA31.4040522题解8－12图解法二：利用相量图求解。设LRUUUU0CU为参考向量，根据元件电压、电流的相位关系知，RI和U同相位，CI超前90，LI滞后U90，相量图如题解8－12图所示，总电流I与RI，CI和LI组成一个直角三角形。故电流表的读数为AIIILCR22)(即（1）A07.7)2025(522（2）A31.