泛函分析习题1

线性与非线性泛函分析◇-1-习题11.(张燕石淼)设在全体实数R上，定义两个二元映射2(,)()xyxy和(2)(,)dxyxy，证明(1)(,)R不是度量空间；(2)(,)dR是度量空间．2.(范彦勤孙文静)设X(,)为度量空间，:f[0,+][0,+]为严格单调函数，且满足,xyf[0,+],(0)=0,()()()fxyfxfy，令(,)((,))dxyfxy，证明Xd(,)为度量空间．3.(武亚静张丹)设Xd(,)为度量空间，证明,,,xyzwX有(,)(,)(,)(,)dxzdywdxydzw．4.(崔伶俐杨冰)设全体实数列组成的集合为123(,,,....,...)|,1,2,...niXxxxxxRi，对于123(,,,....,...)nxxxxx及12(,,...,...)nyyyy，定义11(,)12kkkkkkxydxyxy．证明Xd(,)为度量空间．5.设()Xn为0和1组成的n维有序数组，例如(3){000,001,010,011,100,101,110,111}X，对于任意的,()xyXn，定义(,)dxy为x和y中取值不同的个数，例如在(3)X中，(110,111)1d，(010,010)0d(010,101)3d．证明((),)Xnd为度量空间．6.(苏艳丁亚男)设Xd(,)为度量空间，AX且A．证明A是开集当且仅当A为开球的并．7.(张振山赵扬扬)设Xd(,)和Y(,)是两个度量空间．那么映射:fXY是连续映射当且仅当Y的任意闭子集F的原象1()fF是X中的闭集．8.(王林何超)设nx与ny是度量空间Xd(,)的两个Cauchy列．证明,nnnadxy是收敛列．9.(李敬华孙良帅)设Xd(,)和Y(,)是两个度量空间，在XY上定义度量112212121((,),(,)){[(,)][(,)]}pppxyxydxxdyy，其中1122(,),(,)xyxyXY，1p为正数．证明XY是完备空间当且仅当Xd(,)和Y(,)均是完备空间．10.(李秀峰钱慧敏)设Xd(,)是完备的度量空间，11nGxG是X中的一列稠密的开子集，证明1nnG也是X中的稠密子集．11.(王胜训闫小艳)设nAR，证明A是列紧集当且仅当A是有界集．12(冯岩盛谢星星)设Xd(,)为度量空间，AX且A．证明（1）{|,(,)}xxXdxA是X的开集．（2）{|,(,)}xxXdxA是X的闭集，其中0．第一章习题-2-13.(李小伟周新慧)设[,]Bab为定义在,ab上的所有有界函数，若(),()[,]xtytBab，定义,(,)suptabdxyxtyt，求证d为[,]Bab的度量及[,]Cab为[,]Bab的闭集．14.(陈明徕孙潇洋)设,xd为度量空间，AX且A．若A为紧集，则存在00,xyA使得00()(,)diamAdxy．其中,()sup{(,)}xyAdiamAdxy．15.(张秀芳张银利)设(,)Xd为度(,)Xd量空间，令(,)(,)1(,)dxyxydxy，证明(,)Xd为完备度量空间当且仅当(,)X为完备度量空间．16.(常铮岳晓鹏)设,,xyz+Z，定义11(,)dxyxy，证明d为+Z上的度量，(,)d+Z不为完备度量空间，+Z表示正整数集．17.(王文生李科莹)设(,)Xd为度量空间，AX且A，定义(,)inf{(,)}yAdxAdxy．证明,xyX有|(,)(,)|(,)dxAdyAdxy．18.设(,)Xd为完备的度量空间，点列{}nxX，如果0，存在X的一个基本列{}ny，使得(,)nndxy．证明{}nx收敛．19.设(,)Xd为为紧的度量空间，{}nA为X的一列非空闭子集，且1231nnAAAAA证明1nnA．20.设(,)Xd为完备的度量空间，映射设(,)Xd，(,)Y为两个度量空间，:fXY为单射，证明f是连续映射的充要条件是f把X中的任一紧集映成Y中的紧集．21.设,XY均为度量空间，:fXY为连续映射，若A是X的稠密子集，则()fA是()fX的稠密子集．22.设12,FF都是度量空间(,)Xd中的紧集，则必存在0102,xFyF，使得00(,)dxy12(,)dFF，其中1212(,)inf{(,),}dFFdxyxFyF称为1F与2F的距离．23.设12,FF是度量空间(,)Xd中的两个子集，其中1F是紧集，2F是闭集，若12(,)0dFF则必存在012xFF．24.设(,)Xd为完备的度量空间，映射:AXX满足：,xyX且xy有(,)(,)dAxAydxy若知A有不动点，那么此不动点是惟一的．25.设M是(,)ndR中的有界闭子集，,xyM且xy，映射:AMM满足(,)(,)dAxAydxy，证明A在M中存在惟一的不动点．26.证明有界数列空间l是完备的度量空间．(距离的定义：(,)sup||iiidxyxy)线性与非线性泛函分析◇-3-27.证明在n维欧氏空间nR中点列收敛等价于按坐标收敛．即如果()()()12(,,,)iiiinxxxx，其中(1,2,,,)in，及(0)(0)(0)012(,,,)nxxxx，那么0()ixxi（12()(0)201(,)||0()niijjjdxxxxi等价于()(0)0()(1,2,,)ijjxxijn．