泛函分析答案

泛函分析答案：1、所有元素均为0的n×n矩阵2、设E为一线性空间，L是E中的一个子集，若对任意的x,y∈L，以及变数λ和μ均有λx＋μy∈L，则L称为线性空间E的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx＋μy＝0∈L，则L必定含零元素。3、设L是线性空间E的子空间，x0∈E\L,则集合x0+L={x0+l,l∈L}称为E中一个线性流形。4、设M是线性空间E中一个集合，如果对任何x,y∈M，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx＋μy∈M，则称M为E中的凸集。5、设x,y是线性空间E中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：（1）非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y（2）d(x,y)=d(y,x)（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z∈En维欧几里德空间常用距离定义：设x={x1,x2,…xn}T,y={y1y2,…yn}Td2(x,y)=(21||niiixy)1/2d1(x,y)=1||niiixydp(x,y)=(1||npiiixy)1/pd∞(x,y)=1max||iiinxy6、距离空间(x,d)中的点列{xn}收敛到x0是指d(xn,x0)0(n∞)，这时记作0limnnxx，或简单地记作xnx07、设||x||是线性空间E中的任何一个元素x的范数，其须满足以下条件：（1）||x||≥0,且||x||＝0iffx=0（2）||λx||=λ||x||,λ为常数（3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y∈E8、设E为线性赋范空间，｛xn｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε0,总存在自然数N，使得当nN,mN时，均有|xm-xn|ε,则称序列{xn}是E中的基本列。若E的基本列的收敛元仍属于E，则称E为完备的线性赋范空间，即为Banach空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach空间。10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert空间。11、L2（a,b）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L2（a,b）,2|()|baftdt＜∞。当L2（a,b）中内积的定义为（f,g）=_____()()baftgtdt(其中f(t),g(t)∈L2（a,b）)时其为Hilbert空间。★12、算子表示一种作用，一种映射。设X和Y是给定的两个线性赋范空间，集合DX，若对D中的每一个x，均有Y中的一个确定的变量y与其对应，则说这种对应关系确定了一个算子T，记为y=T(x)，y为x的像，x为y的原像。13、算子的范数：设T为有界线性算子，则对一切x∈D(T)，使不等式||Tx||Y≤M||x||X的正数M的下确界称为T的范数，||T||=sup||Tx||/||x||,||x||≠0。直观的理解就是||x||的最大放大率。★14、根据线性算子零空间的定义：对线性算子T：EE1，必有T0=0，则称集合{x∈E|Tx=0}为T的零空间，它是E的线性子空间，并不一定是值域E1的子空间。15、如果存在一正常数M，使得对每一个x∈D(T)，都有||Tx||Y≤M||x||X，则称T为有界算子。无界算子：设算子T：C1[0,1]C[0,1]定义为：(Tx)(t)=x'(t),则T是线性算子，若视C1[0,1]为C[0,1]的子空间，则T是无界的。16、设{Tn}=L(X，Y)，T∈L(X，Y)，如果对任何一个x∈X，均有||Tnx-Tx||0(n∞)，则Tn弱收敛于T。17、L(X，Y)是BANACH空间。*18、压缩映像原理又叫BANACH不动点定理，其具体内容如下：设X为BANACH空间，F为XX的算子，且D(F)∩R(F)≠Φ，如果x*∈X，满足F(x*)=x*，称x*为F的不动点。设集合QD(F)，如果存在常数q∈(0,1)使得对任何x',x''∈Q,有||F(x')-F(x'')||≤q||x'-x''||,称F为Q上的压缩算子，q为压缩系。压缩映像原理：设算子F映BANACH空间X的闭子集Q为其自身且F为压缩算子，压缩系为q，则算子F在Q内存在唯一的不动点x*，若x0为Q内的任意点，作序列xn+1=F(xn),n=0,1,2,…,则{xn}∈Q，xnx*,而且有估计||xn-x*||≤q/(1-q)||F(xn)-F(x0)||。简单地说即赋范空间的完备子集上压缩映射存在唯一的不动点，且该不动点可由该完备子集上的任一点作为初始值用迭代法得到。19、设X是实数域上的线性赋范空间，D是X的线性子空间，f:DR，如果f满足：对任何α,β∈R，x,y∈D,f(αx+βy)=αf(x)+βf(y),则f是D上的一个线性泛函，或者说由XR的算子为泛函。泛函f的范数定义如下：||f||=|f|=sup|f(x)|(||x||=1)=sup(|f(x)|/||x||)(||x||≠0)=sup|f(x)|(||x||≤1)，并且有|f(x)|≤||f||×||x||。20、定义在整个线性赋范空间X上的所有有界线性泛函的全体构成的空间L(X，R)称为空间X的共轭空间，又叫对偶空间，其是完备的。21、弱收敛：X为线性赋范空间，{xn}X，x0∈X，如果对任何一个f∈x*均有0lim()()nnfxfx，则称{xn}弱收敛于x0。弱收敛不一定强收敛，强收敛一定弱收敛。22、泛函的GATEAUR微分：设X为线性赋范空间，x0∈X，f(x)的x0及其领域内有定义，如果对任意h∈X，极限：000()()limtfxthfxt存在，则称f(x)在x0处对方向h存在GATEAUR导数，记为0(,)fxh。又称为泛函f(x)在x0处对于方向h的一阶变分。23、0(,)fxh称为泛函f(x)在x0处对于方向h的一阶变分。令0()(),tfxth则'00)()(0)(0)lim(,)ttfxht。24、'''0xxdggdt25、应变能密度：0()()ijklklijijWd::应变余能密度：0()ijijijcijWd::其关系如下图所示：26、有限元方法的本质是：有限元=瑞兹法+具有局部紧支集的分片插值函数。27、,,1[()](),()2iijiiiijijjiVVSuxWdVfudVPudsuu，其中[()]ux为系统的总势能，()ijVWdV为应变能，后两项为外力势能，fi为体积力分量，iP为给定S边界上的外力。最小势能原理：在所有满足边界条件(iiuuonSu)和必要的连续性条件的位移场中，系统的总势能最小，即对所有可能的位移，真实位移使得系统势能()u最小。其基本的未知函数是位移场ui，其应该满足：(1)单值、连续，满足适当的可微性，应该满足小位移应变关系，,,1/2()ijijjiuu。(2)必须满足本质边界条件。边界位移连续条件，即：iiuuonuS。推导与证明过程如下：把Π取一阶变分：δΠ=()ijiiiiijiiiiVVsVVsijWWdVfudVpudsdVfudVPuds其中：,,,,,,,(1/21/2)1/21/2[()]ijijijijijjiVVVijijijijjiijijijijijjiVVVVWdVdVuudVudVudVudVuudV而,()()uijijijijijjiijjiVsssudVundsnudsnuds由于在su上iiuu为已知，则uijjisnuds=0所以δΠ=,ijjiijjiiiiisVVsnudsudVfudVpuds由δΠ=0得,0ijjifonijjinponuS即极值点满足应力平衡条件，则其是真实的位移。下面证明此极小值是Π的最小值：设正确解是ui,，其它满足位移边界条件的容许位移是ui*，则ui*=ui,+δui，则εij*=εij+δεij，由此得到：Π*=Π+δΠ+δ2Π其中δΠ=0，δ2Π=()ijVWdV≥0，所以Π*≥Π，则极小值即是最小值。证明完毕。28、系统的总余能()()uccijiijjVsWdVunds，其中第一项为系统的应变余能，第二项与给定位移有关。最小余能原理即对满足,0ijjifin和ijjinponuS的应力场(满足适当的光滑性)，真实的位移场使系统的总余能最小。其基本未知函数是应力场ij，对其要求为,0ijjifinijjinponuS证明如下：对()c取一阶变分：()()uijcijiijjVsijWdVunds，其中,,,,,1/2()()cijijijijjiijijijiijjiijjVVVVVVijWdVdVuudVudVudVudV由高斯定理可知：,()iijjiijjVsudVunds在边界面S上，ijjinp是已知的，所以0ijjinP，则,()uiijjiijjVsudVunds同理，由于,0ijjif，其中fI是给定的，所以在内，,ijj=0。由以上推导可得：()()uciiijjsuunds，由极值条件()c=0，得iiuu，在uS上。这就说明了()c取得极值时的ij既满足外力已知的边界条件，也满足位移已知的边界条件，所以是正确解，是真实的位移场。下面证明该位移场对应的极小值是最小值：设外力已知边界条件下的应力分量为*ij，*ijijij**()()()()uuccijiijjcijijiijijjVsVsWdVundsWdVunds*2()()()()cccc，其中2()()0ccijVWdV，所以()c≤*()c，所以这个极小值是最小值。证明完毕。29、Hellinger-Reissner混合变分原理：以位移和应力作为独立变分的函数，真实的位移场和应力场使系统的总势或总余能最小。证明：构造余能泛函：,()()()ucijiijjiijjiiijjiVsVsWdVundsfdVnPdV变分得：,,,()()()()()uijjijijijjiiiiijiijjiiiijjVVsssdVfdVdSnPdSunds依ij的对称性，得,,,1/2()ijijijjiij。则,,,,,()[1/2()]ijjijijijjijjiijVVdVdV由=0的驻值条件可得：,,,1/2()ijjijji,0ijjifinii=0ijjinP=0onsiiuonus取iiu，iiu，则余能泛函变为下面形式：*,()()()ucijijjiiiijjijjiiVssWfudVundsnPudV，由以上计算过程可知，由泛函*的驻值条件给出的,ijiu必定满足平衡方程，应力应变关系，应变位移关系，外力和位移的边界条件，所以它们是正确解，是真实的应力场和位移场。可以证明，当以ui*=ui,+δui和*ijijij代入以上泛函，得**，***，即真实的位移场和应力场使余能泛函取得最小值。