鲁棒控制理论及应用

2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏1第五讲：状态空间H∞控制理论2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏2H∞∞控制的提出与发展控制的提出与发展1981：Zames利用H∞∞范数作为性能指标，提出最小灵敏度控制问题——H∞∞控制问题；1988：Zhou获得H∞∞控制问题的状态反馈控制解；1989：Doyle等发表著名的DGKF论文，获得H∞∞控制问题的输出反馈控制解——H∞∞控制理论形成。CCPPreyudγ+=∞WSPCS112007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏3状态空间H∞控制问题主要讨论三种形式：H∞状态反馈控制静态状态反馈增益矩阵的设计H∞输出反馈控制输出反馈补偿器的设计基于状态观测器的H∞状态反馈控制状态观测器的设计与静态状态反馈增益矩阵的设计2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏4H∞状态反馈控制问题121111200ABBGCDDI⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦状态反馈控制：u=Fx11122111()()()zwsCDFsIABFBD−Τ=+−−+控制问题控制问题：：寻找状态反馈增益矩阵F，使A+B2F稳定，而且(),zwTsγ∞次优问题min(),zwTs∞最优问题GGFFwzuy12xAxBwBu=++&11112zCxDwDu=++yx=2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏5控制问题控制问题：：寻找动态输出反馈补偿器K，使闭环系统内部稳定，而且H∞输出反馈控制问题12xAxBwBu=++&11112zCxDwDu=++22122yCxDwDu=++121111222122ABBGCDDCDD⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦控制器为输出反馈补偿器：kkAByξξ=+&kkuCDyξ=+kkkkABKCD⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()(,)zwlTsFGK=(),zwTsγ∞次优问题min(),zwTs∞最优问题zwGGKKuy2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏6控制问题控制问题：：寻找状态观测器和状态反馈增益矩阵，使闭环控制系统内部稳定，而且关于态观测器的H∞状态反馈控制问题(),zwTsγ∞次优问题min(),zwTs∞最优问题同维的状态观测器：12ˆˆˆAxByBu=++ˆx&降维的状态观测器：ˆˆˆxCDyξ=+1ˆˆAByξξ=+&2ˆBu+基于状态估计值的反馈控制：ˆuFx=zwGG状态观测器状态观测器uyFFH∞控制器K2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏7H∞∞控制问题控制问题G(s)G(s)wzK(s)K(s)uy⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=uDwDxCyuDwDxCzuBwBAxxsG222121211121:)(&⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()(21211211222121211121sGsGsGsGDDCDDCBBAsGijjiijDBAsICsG+−=)()(211221211)(),()(GKGIKGGKGFsTlzw−−+==),(minKGFlγ∞),(KGFl最优：次优：2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏8关于变量和矩阵的维数1212,,,mmppnxRwRuRzRyR∈∈∈∈∈，1212,,nmnmnnARBRBR×××∈∈∈1212,pnpnCRCR××∈∈11122122,,,DDDD为相应维数的矩阵111212121,(),1,2ijijjGGGGCSIABDiGG−⎡⎤==−+=⎢⎥⎣⎦只要G22为严格真的，即D22=0，则闭环控制系统是良定的，因此一般假设D22=0。2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏9控制对象的假设条件(1)(A,B1)是可稳定的，(A,B2)是可稳定的；(2)rankD12=m2，即矩阵D12是列满秩的；22112,;AjIBranknmRCDωω−⎡⎤=+∀∈⎢⎥⎣⎦(3)(4)(C1,A)是可检测的，(C2,A)是可检测的；(5)rankD21=p2，即D21是行满秩的；(6)12221,;AjIBranknpRCDωω−⎡⎤=+∀∈⎢⎥⎣⎦(7)D22=0；(8)2120;mDI⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(9)2210pDI⎡⎤=⎣⎦。2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏10假设条件的说明条件(1)~(3)是H∞状态反馈控制问题必需的；条件(1)~(6)是H∞输出反馈控制问题必需的；在条件(1),(4)中是(A,B2)可稳定的和(C2,A)是可检测的，是保证闭环控制系统内部稳定的充分与必要条件；条件(2),(3),(5),(6)是保证存在H∞最优控制器,使能够最小化，对于次优问题则未必是必要的。()zwTs∞2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏11假设条件(2),(3),(5),(6)的进一步说明11222222()()()()(),GsNsMsMsNs−−=%%22222222()()()()()()()()MsYsXsYsINsXsNsMs⎡⎤−⎡⎤=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦%%%%111122221()()()()()(),TsGsGsMsYsGs=+%2122()()(),TsGsMs=3221()()()TsMsGs=%条件(2),(3),(5),(6)分别与下述条件等价：22(1)rank();Tm∞=22(2)rank(),;TjmRωω=∀∈32(3)rank();Tp∞=32(4)rank(),R;Tjpωω=∀∈第(1)和第(3)种情况：T2(s)和T3(s)在无限远处没有零点第(2)和第(4)种情况：T2(s)和T3(s)在在虚轴上没有极点2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏12加法不确定性鲁棒稳定化问题的条件当W1(s)=Im，W2(s)=Ip时，0()mpIGIPs⎡⎤=⎢⎥⎣⎦假设P(s)是严格真的，而且，则()ppppABPsCD⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0000ppmppABGICI⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1)若(Ap,Bp)为可稳定的，则(A,B2)为可稳定的；(2)rankD12=rankIm=m，即D12是列满秩的；2112rankrankrank0pppmAjIBAjIBmAjInmICDωωω−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+−=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(3)(4)(Cp,Ap)为可检测的，则(C2,A)为可检测的；(5)rankD21=rankIp=p，即D21是行满秩的；(6)12210rankrankrankppppAjIAjIBpAjInpCICDωωω−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+−=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。的充分与必要条件是P(s)在虚轴上没有极点；2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏13假定条件的性质¾应该指出：在一般场合,如果公称对象在虚轴上具有极点和零点,则很难满足G的假设条件。根据假定条件根据假定条件(2)(2)和和(3)(3)可得：可得：¾为了保证存在最优的H∞的控制器K,使得w到z的闭环传递函数矩阵的H∞范数最小化。对于次优的H∞控制问题，条件(2)和(3)以及条件(5)和(6)未必是必要的。同样地同样地,,由假定条件由假定条件(5)(5)和和(6)(6)可得：可得：¾在包含ω=∞的所有ω处是行满秩的;¾rank对所有的ω是行满秩的。1121212()()GjCjIABDωω−=−+1AjInCω−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏14假定条件的解释条件(2)意味着G12(s)在虚轴上没有零点:z=C11w+D12u[]max11min1212()()()()()()zjGjjGjGjujωσωωωλωωω∗⎡⎤+≥−⎣⎦若G21(jω)在所有的ω处是满秩的,min1212()()0GjGjλωω∗⎡⎤−⎣⎦此时则有界的‖z(jω)‖2有界的的‖u(jω)‖2G12(s)G21(s)K(s)G11(s)G22(s)zywu条件(5)意味着G21(s)在虚轴上没有零点:y=C21w+D21umin2121()()()()yjGjGjjωλωωωω∗⎡⎤≥−⎣⎦若G21(jω)在所有的ω处是满秩的,则：外部输入w在所有频率ω处都影响输出ymin21()()0GjGjλωω∗⎡⎤−⎣⎦2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏15假定条件的等价变换22()zwzwTszw∗⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∗∗⎣⎦⎣⎦⎣⎦()zwTsγ∞∗⎡⎤⎢⎥∗∗⎣⎦()zwTsγ∞GKεεεεzz3w2z2w3w¾为了满足条件(1),必须使不能由w和u控制的部分是稳定的¾为了满足条件(2),可追加z2¾为了满足条件(3),可追加w3¾为了满足条件(4),要使不能由y测量的部分是稳定的¾为了满足条件(5),可追加w2¾为了满足条件(6),可追加z3uy2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏16不满足D22=0的情况寻找D22=0时对象的控制器,使闭环控制系统内部稳定，而且()Gs%()Ks%(,)lFGKγ∞%%122()()KsKIDK−=+%%D22D22()Gs%()Ks%wzuyK(s)u%2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏17H∞状态反馈控制器的一般形式(1)rankD12=k≤p1定义Ｕ和∑,使12rankUrankkDU=∑==∑定义，满足，当k２＝m２时FΦTT0,FFFIΦ∑=ΦΦ=0FΦ=2T1T111111TT1T1T12T1T111111112T1T211111111212T1T211111111112T21111112T1T2111111111()()()()()()()()()FFFFFFRIDIDDURUAABIDDDCBBBIDDDDCIDIDDDCDBIDDFIDIDDDDγγγγγγ−−−−−−−−−=+−Ξ=∑∑∑∑∑∑=+−=+−⎡⎤=+−⎣⎦=−⎡⎤=+−⎣⎦22007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏18H∞状态反馈控制器的一般形式(2)Ｈ∞状态反馈控制可解的充分必要条件是，2T11110IDDγ−而且黎卡提方程()()()TTTTT1TTTT0FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFABFCXXABFCXDDXXBBXXBBXCIFFCIεε−−Ξ+−Ξ+−Ξ−ΦΦ+−Ξ+=对于一个充分小的常数ε0具有正定解x0.此时，状态反馈增益矩阵为TTT1()2FFFFFFFBXFGε=−ΦΦ+Ξ=Ξ使A+B2F稳定，而且()zwTsγ∞2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏19H∞状态反馈控制器的简单形式(1)假设：(A,B2)可稳定，而且[][]11T121200DDCDI===111221()()()zwTsCDFsIABFB−=+−−H∞状态反馈控制可解的充分必要条件：黎卡提方程对于一个充分小的常数ε＞０具有正定解Ｘ＞0.如果这样的ε和X存在，则状态反馈增益矩阵使A+B2F稳定，而且T2TTT1122110AXXAXBBXXBBXCCIγε−++−++=T2FBX=−()zwTsγ∞2007年10月9日鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏20H∞状态反馈控制器的简单形式(2)假设：(A,B2)可稳定，而且111200DD==1121()()zwTsCsIABFB−=−−H∞状态反馈控制可解的充分必要条件：黎卡提方程对于一个充分小的常数e＞０具有正定解X＞0。如果这样的ε和X存在，则状态反馈增益矩阵使A+B2F稳定，而且T2TTT11221110AXXAXBBXXBBXCCIγεε−++−++=T212FBXε=−()zwTsγ∞