北京交通大学高等数学B(Ⅱ)期末考试试卷(B卷及其答案

1999-2000学年第二学期高等数学期末考试（B）卷答案-1北方交通大学1999-2000学年第二学期高等数学B（Ⅱ）期末考试试卷（B卷）答案一．填空题（本题满分15分，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1．函数yxz的定义域为________________________．2．设二元函数yxzz，由方程0ln22xyzxyzxz所确定，则xz_____________．3．交换累次积分的顺序41210xxxxdyyxfdxdyyxfdx，，_____________．4．若0a，0b，则级数111211121nnbbbnaaa在__________时发散．5．设方程xfyyy32有特解*y，则它的通解为________________．答案：⒈yx，0y；⒉xz；⒊2122yydxyxfdy，；⒋1ba；⒌*321yeCeCyxx．二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．1．曲线：06222zyxzyx在点121，，处的切线一定平行于_____．（A）．xOy平面；（B）．yOz平面；（C）．zOx平面；（D）．平面0zyx．2．已知L：tytxt是一连接A、B两点的有向光滑曲线段，其中始点为B，终点为A，则Ldxyxf，_________．（A）．dtttf，；（B）．dtttf，；（C）．dttttf，；（D）．dttttf，．3．设kxjziyA，则Arot______________．（A）．kji；（B）．kji；（C）．kji；（D）．kji．1999-2000学年第二学期高等数学期末考试（B）卷答案-24．函数xdtttxf0sin在0x处的幂级数展开式为___________．（A）．01212!121nnnxnnx；（B）．01212!121nnnxnnxx00，；（C）．01212!121nnnxnnx；（D）．01212!121nnnxnnxx00，．5．设xy1与xy2是方程0yxQyxPy的_________，则xyCxyCy2211（1C与2C为任意常数）是该方程的通解．（A）．两个不同的解；（B）．任意两个解；（C）．两个线性无关的解；（D）．两个线性相关的解．答案：⒈（D）；⒉（D）；⒊（B）；⒋（C）；⒌（C）．三．（本题满分7分）设xyyxfz，，其中函数f具有二阶连续的偏导数，求yxz2．解：21fyfxz……3所以，2221212112fxyfyffxfyxz2221211ffxyfyxf……7四．（本题满分7分）计算Ddxdyyxyx222211，其中D是由圆周122yx及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解：作极坐标变换sincosryrx，则有10222022221111rdrrrddxdyyxyxD……21999-2000学年第二学期高等数学期末考试（B）卷答案-31042112rdrrr1043104112drrrdrrr104410241114111212rdrrdr104102121arcsin212rr……528……7五．（本题满分8分）证明：曲面3axyz（0a为常数）上任意点处的切平面与三个坐标面所形成的四面体的体积为常数．解：令3axyzzyxF，，……2则yzFx，xzFy，xyFz设000zyx，，为曲面3axyz上的任意一点，则在该点处的切平面方程为0000000000zzyxyyzxxxzy……4化为截距式，有1333000zzyyxx所以，所求四面体的体积为3000000292933361azyxzyxV……8即所求体积为常数．六．（本题满分8分）求微分方程xyydxdyxlnln的通解．解：原方程化为xyxydxdyln，这是一个齐次方程，令uxy，则dxduxudxdy，代入原方程，得uudxduxuln……31999-2000学年第二学期高等数学期末考试（B）卷答案-4分离变量，得xdxuudu1ln积分，得Cxulnln1lnln，即Cxu1ln……6代回原变量，得1Cxexy，因此所求通解为1Cxxey……8七．（本题满分8分）求函数0002222242yxyxyxyxyxf，的全微分，并研究在点00，处该函数的全微分是否存在？解：当00，，yx时，……3dyyfdxxfdz224226422yxdyyxxdxxyxy……3在原点00，处，00lim0000lim0000xxfxffxxx，，，00lim0000lim0000yyfyffyyy，，，2420000yxyxfyxfz，，，22yx则有22242001lim0000limyxyxyxyfxfzyx，，，令xy，则有xxxxyfxfzxyxx21lim0000lim24300，，所以，函数yxf，在点00，处不可微．……81999-2000学年第二学期高等数学期末考试（B）卷答案-5八．（本题满分8分）求三重积分dxdydzzyxI22其中是由曲线022xzy绕z轴旋转一周所成的曲面与平面4z所围成的立体．解：作柱坐标变换zzryrx，，sincos，……1则有4228020222rdzzrdrddxdydzzyxI……4805385842drrrr3256……8九．（本题满分8分）求幂级数1!nnnnxn的收敛域（端点情形要讨论）．解：设nnnna!，则!1!1limlim11nnnnaannnnnnennn1111lim，所以，收敛半径为eR，……4当ex时，级数为1!nnnnen而111!1!111nnnnnneennnen所以，0!limnnnnen1999-2000学年第二学期高等数学期末考试（B）卷答案-6因此，级数1!nnnnen发散．……6同理，当ex时，级数1!1nnnnnen也发散．……7所以幂级数1!nnnnxn的收敛区间为ee，．……8十．（本题满分8分）设1，试确定函数u，使得曲线积分Ldyxdxxyxxsin在0x或在0x的域内与路径无关，并求由点01，A到，B的上述积分．解：因为xyxxPsin，xQ由于曲线积分Ldyxdxxyxxsin在0x或在0x的域内与路径无关，因此xxQxxxyPsin所以得微分方程xxxxxsin1解此方程，得通解xxCxcos……4代入1，得1C所以，所求函数为xxxcos1……5又，，01sindyxdxxyxx，，，，0001sinsindyxdxxyxxdyxdxxyxx0cos10dy……8十一．（本题满分8分）利用Gauss（高斯）公式计算曲面积分1999-2000学年第二学期高等数学期末考试（B）卷答案-7dxdyxyzdzdxzxydydzyzx222，其中为球面2222Rczbyax的外侧．解：yzxP2，zxyQ2，xyzR2所以，zyxzRyQxP2所以，由Gauss公式，得dxdyxyzdzdxzxydydzyzx222dxdydzzyxdxdydzzRyQxP2其中为空间区域2222Rczbyaxzyx：，，……4而2222Rczbyaxzyx：，，的重心为cba，，，又设的体积为V，则xdxdydzVa1，ydxdydzVb1，zdxdydzVc1因此，dxdyxyzdzdxzxydydzyzx222dxdydzzyx2xdxdydzydxdydzxdxdydz2cVbVaV2cbaR338．……8