流体力学第八章气体的一元流动

189第8章气体的一元流动一、学习的目的和任务1．掌握可压缩气体的伯努利方程2．理解声速和马赫数这两个概念3．掌握一元气体的流动特性，能分析流速、流通面积、压强和马赫数等参数的相互关系4．掌握气体在两种不同的热力管道（等温过程和绝热过程）的流动特性。二、重点、难点1．重点：声速、马赫数、可压气体的伯努利方程、等温管道流动、绝热管道流动2．难点：声速的导出、管道流动参数的计算由于气体的可压缩性很大，尤其是在高速流动的过程中，不但压强会变化，密度也会显著地变化。这和前面研究液体的章节中，视密度为常数有很大的不同。气体动力学研究又称可压缩流体动力学，研究可压缩性流体的运动规律及其应用。其在航天航空中有广泛的应用，随着研究技术的日益成熟，气体动力学在其它领域也有相应的应用。本章将简要介绍气体的一元流动。8.1气体的伯努利方程在气体流动速度不太快的情况下，其压力变化不大，则气体各点的密度变化也不大，因此可把其密度视为常数，即把气体看成是不可压缩流体。这和第四章研究理想不可压缩流体相似，所以理想流体伯努利方程完全适用，即2211221222pupuzzgggg(8.1-1)上式中12,pp——流体气体两点的压强；12,uu——流动气体两点的平均流速在气体动力学中，常以g乘以上式（8.1-1）后气体伯努利方程的各项表示称压强的形式，即1902212112222uupgzpgz(8.1-2)由于气体的密度一般都很小，在大多数情况下1gz和2gz很相近，故上式(8.1-2)就可以表示为22121222uupp(8.1-3)前面已经提到，气体压缩性很大，在流动速度较快时，气体各点压强和密度都有很大的变化，式(8.1-3)就不能适用了。必须综合考虑热力学等知识，重新导出可压缩流体的伯努利方程,推导如下。如图8-1所示，设一维稳定流动的气体，在上面任取一段微小长度ds，两边气流断面1、2的断面面积、流速、压强、密度和温度分别为A、u、p、、T；AdA、udu、pdp、d、TdT。取流段1-2作为自由体，在时间dt内，这段自由体所作的功为()()()WpAudtpdpAdAududt(8.1-4)根据恒流源的连续性方程式，有uAC（常数），所以上式(8.1-4)可写成()ppdpppdpWCdtCdtCdtdd由于在微元内，可认为和d很相近，则上式可化简为()ppdpdpWCdtCdt(8.1-5)图8-1ds微元流段191又对1-2自由体进行动能分析，其动能变化量为222111()22Emudumu(8.1-6)同样地根据恒流源的连续性方程式uAC（常数），故有12mmuAC上式就可以写成1(2)2ECdtuduCudtdu(8.1-7)根据功能原理有WE,化简得0dpudu(8.1-8)该式就是一元气体恒定流的运动微分方程对上式(8.1-8)进行积分，就得一元气体恒定流的能量方程22dpuC(8.1-9)式中C为常数。上式表明了气体的密度不是常数，而是压强（和温度）的函数，气体流动密度的变化和热力学过程有关，对上式的研究取要用到热力学的知识。下面简要介绍工程中常见的等温流动和绝热流动的方程。（1）等温过程等温过程是保持温度不变的热力学过程。因pRT，其中T定值，则有pC（常数），代入式(8.1-9)并积分，得2ln2pupC(8.1-10)（2）绝热过程192绝热过程是指与外界没有热交换的热力学过程。可逆、绝热过程称为等熵过程。绝热过程方程pC（常数），代入式(8.1-9)并积分，得212puC(8.1-11)式中为绝热指数。8.2声速和马赫数8.2.1声速微小扰动波在介质中的传播速度称为声速。如弹拨琴弦，使弦振动了空气，其压强和密度都发生了微弱的变化，并以波的形式在介质中传播。由于人耳能接收到的振动频率有限，声速并不限于人耳能接收的声音传播速度。凡在介质中的扰动传播速度都称为声速。如图8-2所示，截面面积为A的活塞在充满静止空气的等径长管内运动，0u时（0t），管内压强为p，空气密度为，温度为T;若以微小速度du向右推进时间dt，压缩空气后，压强、密度和温度分别变成了pdp，d和TdT。活塞从右移动了dudt，活塞微小扰动产生的声速传播了cdt，c就为声速。取上面的控制体，列连续性方程得()()cdtAdcdudtA(8.2-1)化简并略去高阶无穷小项，得ducd(8.2-2)又由动量定理，得()[()]pApdpAcAcduc(8.2-3)同样化简并略去高阶无穷小项，得dpcdu(8.2-4)图8-2微小扰动波的传播193联立式(8.2-2)和式(8.2-4)，得dpcd(8.2-5)上式就为声速方程式的微分形式。密度对压强的变化率ddp反映了流体的压缩性，ddp越大，则dpd越小，声速c也越小；反则声速c越大。由此可知，声速c反映了流体的可压缩性，即声速c越小，流体越容易压缩；声速c越大，流体也越不易压缩。由于微小扰动波的传播速度很快，其引起的温度变化也很微弱，在研究微小扰动时，可认为其压缩或膨胀过程是绝热且可逆的，这就是热力学中的等熵过程。则有绝热方程为pC（常数）(8.2-6)式中为绝热指数。可写为pC(8.2-7)上式两边对求导，得11dpppCd(8.2-8)又由理想气体状态方程gpRT和上式(8.2-8)、式(8.2-5)联立，得gpcRT(8.2-9)综合上述分析，有（1）由式(8.2-5)得，密度对压强的变化率ddp反映了流体的压缩性，ddp越大，则dpd越小，声速c也越小；反则声速c越大。由此可知，声速c反映了流体的可压缩性，即声194速c越小，流体越容易压缩；声速c越大，流体也越不易压缩。（2）特别的，对于空气来说，1.4,287.1/()gRJkgK，则空气中的声速为20.05/cTms(8.2-10)（3）从式(8.2-9)可看出，声速c不但和绝热指数有关，也和气体的常数gR和热力学温度T有关。所以不同气体声速一般不同，相同气体在不同热力学温度下的声速也不同。8.2.2马赫（Ma）数为了研究的方便，引入气体流动的当地速度u与同地介质中声速c的比值，称为马赫数，以符号Ma表示uMac(8.2-10)马赫数是气体动力学中最采用的参数之一，它也反映了气体在流动时可压缩的程度。马赫数越大，表示气体可压缩的程度越大，为可压缩流体；马赫数越小，表示气体可压缩性小，当达到一定程度时，可近似看作不可压缩流体。根据马赫数Ma的取值，可分为（1）uc，即1Ma时，称为声速流动；（2）uc，即1Ma时，称为超声速流动；（3）uc，即1Ma时，称为亚声速流动。195下面讨论微小扰动波的传播规律，可分为四种情况：(1)如图8-3()a所示，0u，扰动源静止。扰动波将以声速向四周对称传播，波面为一同心球面，不限时间，扰动波布满整个空间。(2)如图8-3()b所示，uc，扰动源以亚声速向右移动。扰动波以声速向外传播，由于扰动源移动速度小于声速，只要时间足够，扰动波也能布满整个空间。(3)如图8-3()c所示，uc，扰动源以声速向右移动。由于扰动源移动速度等于声速，所以扰动波只能传播到扰动源的下游半平面。(4)如图8-3()d所示，uc，扰动源以超声速向右移动。由于扰动源移动速度大于声速，扰动波的球形波面被整个地带向扰动源的下游，所以扰动波只能传播到扰动源的下游区域，其区域为一个以扰动源为顶点的圆锥面内。称该圆锥为马赫锥。锥的半顶角称图8-3微小扰动传播规律图196为马赫角，从图中可以看出1sincuMa(8.2-11)上面分析了扰动源分别在静止以及亚声速、声速和超声速从右移动时，微小扰动波的传播规律。由此可知，01Ma，即在振源静止或以亚声速移动的情况下，扰动波能传播到整个空间；而1Ma，即在振源以声速或超声速移动时，扰动波只能传播到半空间或一圆锥面内。8.3一元气流的流动特性在引入了声速和马赫数的概念后，对于可压缩气体的流动有一些自己的特性。这里我们介绍两个重要特性。8.3.1气体流速与密度的关系由第一节的式(8.1-7)和第两节的式(8.2-5)，得2dpdpdduducd(8.3-1)将马赫数uMac代入上式，有2dduMau(8.3-2)上式表明了密度相对变化量和速度相对变化量之间的关系。从该式可以看出，等式中有个负号，表示两者的相对变化量是相反的。即加速的气流，密度会减小，从而使压强降低、气体膨胀；反则，减速气流，密度增大，导致压强增大、气体压缩。马赫数Ma为两者相对变化量的系数。因此，当1Ma时，即超声速流动，密度的相对变化量大于速度的相对变化量；当1Ma时，即亚声速流动，密度的相对变化量小于速度的相对变化量。以下再分析流速与断面积的关系8.3.2气体流速与流道断面积的关系对一元气流得连续性方程uAC（常数）两边取对数，得ln()lnlnlnlnuAuACC197对上式微分，得0ddudAuA或ddudAuA(8.3-3)将式(8.2-13)代入上式，得2(1)dAduMaAu(8.3-4)从上式我们可以看到，1Ma是一个临界点。下面讨论其在亚声速和超声速流动下的情况。（1）亚声速流动时，即1Ma。面积相对变化量和速度相对变化量反向发展，说明了气体在亚声速加速流动时，过流断面逐渐收缩；减速流动时，过流断面积逐渐扩大。（2）超声速流动时，即1Ma。这种情况正好和亚声速流动相反，沿流线加速时，过流断面逐渐扩大；减速流动时，过流断面逐渐收缩。上式就表明，亚声速和超声速流动在加速或减速流动的情况截然相反。8.4气体在管道中的等温流动实际工程中，许多工业输气管道，如天然气、煤气等管道，管道很长，且大部分长期暴露在外界中，管道中的气体能和外界进行充分的热交换，所以其温度基本与周边环境一样。该类气体管道可视为等温管道。8.4.1基本方程气体在实际管道中流动要受到摩擦阻力，故存在流程损失，但在流动中，气体压强、密度都有所改变，所以不能直接应用达西公式，只能在微小ds段上应用。即22fdsudhD(8.4-1)对于前面推导出的可压缩流体方程式(8.1-7)，在工业管道中加上摩擦损失后就可以写成198202dpuududsD(8.4-2)式中为沿程阻力系数，上式就是气体运动微分方程。根据连续性方程，有111222uAuAuA,对于等径管道因12AAA,得11uu(8.4-3)又由热力学等温过程方程pC即1Cp和111Cp，有111puup或11pp和11puup(8.4-4)将式(8.4-4)代入式(8.4-2)并改写为211102pdpdudspuuD(8.4-5)如图8-3所示，设在等温管道中，取一微小流段ds，在1-2段对上式(8.4-5)进行定积分，得221120111102pulpudupdpdspuuD上式积分得22221211112lnulpppuuD(8.4-6)若管道较长，且气流速度变化不大，则可以认为212lnuluD,略去对数项，上式可写成图8-3微元管流1992221111lpppuD(8.4-7)2211211()Dupppl(8.4-8)质量流量公式为25222111121()416mDDQupppl(8.4-9)上面各项就是计算等温管道压强、流速和流量的计算公式。8.4.2流动特征分析前面已经给出了气体连续性方程uAC,其中A不变，则有uC，对该式取对数并积分，得0dduu