直线上一点与直线外两点距离之和最小问题(教案)

德强学校课堂教案设计任课教师石波任课班级初一（3）、（4）班序号课题19.2.2直线上一点与直线同侧两点距离和的最小问题授课时间2012年9月日教学目标知识与技能加深学生对轴对称性质的理解，使他们学会利用这些性质去解决有关问题．过程与方法通过实验、操作、对比、观察等手段探索出进行轴对称变换的一般方法情感态度与价值观通过对范例的分析、讲解，培养和训练学生解决问题的正确思想方法，达到启迪智慧，提高能力的目的．教学重点理解实际问题应用的理论依据，建立相应的数学模型教学难点难点是实际问题的应用.教学手段多媒体课件学习方式引导发现法教学过程教学内容与教师活动设计学生活动设计设计意图（一）创设情境复习导入师：轴对称图形的概念的内容是什么？师：轴对称图形具有什么性质？师：轴对称图形的判定方法？（二）合作交流解读探究师：今天，我们要应用上述性质来解决一个实际问题．例1.[探究]如图l9—2—8所示，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气生：把一个图形沿着一某一条直线折过来，如果它能够与另一个图形重合，我们就着说这两个图形关于这条直线对称.生：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平线；生：如果两个图形各对应点的连线都被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.管最短?师：同学们若仔细考虑一下，不难发现，例1实质上是一个求最短路线的实际问题，如果用数学语言叙述就是：已知直线a的同侧有A、B两点，现欲在a上作出一点C，使AC＋CB为最小．师：对同学们来说，这是一个陌生的问题，可能会感到无从下手．现在，我们不妨这样来思考：(教师取出在透明纸上事先画好的图2．)师：若A、B是直线a两侧的已知点，现要在a上作出一点C，使AC＋CB为最小，怎么办呢？请同学们在白纸上作出点C．师：对，很好。若将纸片的下半部分沿直线a向上旋转一个角度，此时A、B两点不在同一个平面上了，如图3所示．试在直线a上求一点C，使AC＋CB为最小．譬如大家可设想有一小虫，在纸面上要从A点爬到B点，问它沿怎样路线爬才最近？师：若将图3中直线a下方的半个纸面继续沿直线a旋转，直至与上半面叠合(教师边讲边演示)，这时A、B即处于直线a的同侧了(图4)．大家很容易看出图4实际上是图3的另一种特殊情况．显然，其解可用一般方法来求得．即：将含有点A的半个面，沿直线a旋转，使其变（请知道的同学举手，统计人数，以后分析一步都要求举次手，以便做比较）(让学生准备白纸一张，在教师的启发下作出点C．)生：这个问题容易解决，连结AB，设其交直线a于点C，则点C即为所求．生：将纸片的下半面绕直线a旋转回图2的情况(即将原纸片展平)，在展平后的纸面上连结AB，设其交a于点C，则点C即为所求．【将特殊情况推广到一般情况，也是数学中常用的思考问题的方法，让学生从初中起就受到这一训练，对提高他们的能力是大有好处的】为图2的情形，再求解．用数学语言可描述如下：作点A关于直线a的对称点A＇，连结A＇B，设其交直线a于点C，则C点即为所求的点．师：请同学们作出点C并具体地写出作法．师：由轴对称的性质1可以知道，对称轴是对应点连线的垂直平分线，即相互对称的点到轴上任一点的距离相等．因而，当考虑某一点和轴上的点之间的距离时，这个点可以用它的对称点来“代换”．如本例，当用点A来考虑问题感到困难时，便可用点A的轴对称点A＇来“代换”．由于“代换”后，点A＇和点A到轴上任一点的距离都相等，故AC=A＇C，因而原问题中对AC＋CB最小的要求，可变换成对A＇C＋CB最小的要求．由于A＇和B此时已处于a的两侧，因而变换后的新问题成了一个显而易见的问题，这就最终达到了我们解决原问题的目的．下面，大家利用轴对称的这条性质来证明我们作出的点C确是符合要求的．小结：对称轴是对应点连线的垂直平分线，即相互对称的点到轴上任一点的距离相等．因而，当考虑某一点和轴上的点之间的距离时，这个点可以用它的对称点来“代换”．这种“代换”称为“对称变换”.利用这种“变换”我们常常可以将原问题变得更加简单和直观.例2.（1）如图，正方形ＡＢＣＤ的对称轴是直线ＢＤ，点Ｅ是边ＤＣ上任意一点，试在直线ＢD上确定一点P，使PE＋ＰＣ最小.（2）如图（1），射线ＯＣ平分∠ＡＯＢ，点Ｍ、点Ｎ是射线ＯＡ上的点，试在射线ＯＣ上确定一点P，使PＭ＋ＰＮ最小.（图5）MFEDCBA（图4）CNMBOA例3.如图，Ox、Oy是两条公路，在两条公路夹角的内部，有一油库A，现在想在两公路上分别建一个加油站，为使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，问两加油站应如何选址?【分析】本题通过作A关于0x、Oy的对称点，将AB、AC分别转化为A1B、A2C，再根据两点之间的距离最短，从而使问题得到解决．解：取A关于OX、OY的对称点A1、A2，连接A1A2，交0X、Oy于B、C两点，则B、C两点就是加油站的位置．证明：设M、N分别为OX、OY上除B、C以外的任意两点，连接A1M、MN、NA2、AB、AC、AM、AN．因为A、A1关于OX对称，所以A1B=AB；A、A2关于0y对称，所以AC=A2C，所以AB+BC+CA=A1B+BC+CA2=A1A2又A1M=AM，AN=A2N，AM+MN+AN=A1M+MN+NA2．由两点之间线段最短，可知，A1M+MN+NA2＞A1A2所以B、C两点为加油站的最佳位置．【点评】轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是数学与现实密切联系的重要内容，同学们要学会把它应用到生产和生活中去．（三）、总结反思拓展升华小结这节课，我们重点讲解了轴对称性质的应用．轴对称的性质是利用轴对称解决问题的基础，应深刻理解和掌握．将一个图形变为它的对称图形，我们称为“对称变换”，利用这种“变换”，我们常常可以将原问题变得更加简单和观．关于这方面的知识，我们在今后的学习中还会碰到．（四）布置作业板书设计教学感悟与反思