有限单元法课后习题全部答案-王勖成

习题1.2：在用有限元法求解时，边界条件总是满足的，控制方程的不完全匹配，会产生误差。题中所给出的近似函数：230123aaxaxaxφ=+++，应该满足边界条件，对于情况（1），代入边界条件可得21203310,aLaLaaL−−==，从而33321223()()xxxaxaxLLLφ=−+−+（1）上式中的最后一项33xL前面没有待定系数，这是由于使用了在x=L处φ=1的强制边界条件。从物理意义上说，相当于给定边界条件的解为齐次方程的通解加一个特解的缘故。将（1）式代入教材（1.2.26）式，得到残量：122366()(6)(2)()xxxRxaaQxLLL=−+−++不同的求解方法，如配点法、子域法和伽辽金法，只是残量在某种意义上某个区域加权积分为零。配点法强制残量R(x)在有限个点严格为零，点的个数取决于未知数个数，这里为2，通常取所选的点在域内均匀分布，则取x=L/3和x=2L/3处，R(x)=0,这样得到2()0,()033LLRR==，从而可以解出待定系数12,aa。带入（1）式可以得到φ。配点法仅考虑了有限个点的局部特性，子域法则要求在有限个子域iΩ内残量的积分()0iRxdxΩ=∫为零，子域的个数仍然取决于未知函数个数，通常选取各子域的并集为整个待求区域，一般情况可以选择各子域大小相同，但对于某些局部变化较复杂的区域，可以缩小子域的大小，使得子域分布更合理。例如取子域为12{|0/2},{|/2}xxLxLxLΩ=≤≤Ω=≤≤，则利用12()0,()0RxdxRxdxΩΩ==∫∫，可以求出待定系数12,aa。伽辽金法作为加权余量法的特殊形式，权函数选择为插值函数12,NN，这里332122(),()xxNxxNxxLL=−=−，这样，利用()()0,1,2iNxRxdxiΩ==∫可以求出待定系数12,aa。对于其余边界条件情况可依此类推。练习题1.4，注意近似函数要满足边界条件，从而可知截面及坐标系如图所示：，很多同学把积分区域弄错了，也有不少同学计算错误。这里，由于边界为零，采用泛函及其弱形式得到的积分结果是相同的。最终计算得到：a1=4608/(13π4),a2=-512/(15π4),a3=-1536/(85π4)。练习题1.5，泛函的欧拉方程基本没太多问题，泛函为零得到边界条件：232300Ldwdwdwwdxdxdxδδ−=1.5如有一问题的泛函为22220()22LEIdwkwwqwdxdxΠ=++∫，其中E,I,k是常数，q是给定函数，w是未知函数，试导出原问题的微分方程和边界条件.22220()LdwdwwEIkwwqwdxdxdxδδδδΠ=++∫22232223000234234000()()()LLLLLLdwdwdwdwdwdwEIdxEIEIdxdxdxdxdxdxdxdwdwdwdwEIEIwEIwdxdxdxdxdxδδδδδδ=−=−+∫∫∫22422400232300()()LLLLdwdwdwwEIkwwqwdxEIkwqwdxdxdxdxdwdwdwEIEIwdxdxdxδδδδδδδΠ=++=+++−∫∫微分方程：440dwEIkwqdx++=边界条件：222200xxLdwdwdxdx====，333300xxLdwdwdxdx====分强制边界和自然边界。补充题试作加权余量发的最小二乘配点法，并给出所得到的求解方程系数矩阵的特点分析。（最小二乘配点法思路是，利用使求解域内所选各点处误差平方的总和为最少的条件，去建立求解试函数系数的方程。配点法是强迫余量误差在所选点上为0，最小二乘配点法则是余量在所选点上的误差，满足平方和最小。）解：近似函数为()()iiuxNxa=，不失一般性余量为：()()()(())()iiRxAufxANxafx=−=−最小二乘配点法取权函数()()jiikjwANaxxaδ∂=−≥∂其中j=1,...,n;k=1,...,m且mn加权余量要求0jwRdΩΩ=∫{}111(())()[(())()](())()[(())()](())[(())()]()()()Ka-PTjiikiijTjkiimTjkikikkmmTTjiijkkwRdANxaxxANxafxdaANxxxANxafxdANxANxafxANANaANfδδΩΩΩ===∂Ω=−−Ω∂=−−Ω=−=−=∫∫∫∑∑∑()写成矩阵形式因此，1()()mTijjijikkANANk===∑，系数矩阵对称，且无需积分。复习题1.7自然边界条件强制边界条件的区别何在?为什么这样命名？对于一个给定的微分方程，如何区分这两类边界条件？自然边界条件与强制边界条件，二者都是针对边值条件来说的。边值条件一般有三类边界条件。第一类：狄里克莱(Dirichlet)条件；第二类，诺依曼(Neumann)条件；第三类，前两者的混合条件，也叫洛平(Robin)条件在选择近似函数时，已经事先满足的边界条件为强制边界条件。而自然边界条件则是在将等效形式化为弱形式时包含在边界积分场上的边界条件。对于2m阶微分算子，含0到m-1阶导数的边界条件称为强制边界条件，近似函数应该事先满足。含m到2m-1阶导数的边界条件称为自然边界条件，近似函数不必事先满足。对于给定的微分方程，判断其阶次，再依据边界所含导数阶数可区分两类边界。思考题1.8泛函在什么条件下有极值？了解泛函是否有极值的意义何在？200δδΠ=Π且或，泛函极值性对于判断解的近似性质有意义，利用它可以对解的上下界做出估计。思考题1.9什么是里兹法？通过它建立的求解方法有什么特点？里兹方法收敛性的定义是什么？收敛条件是什么？里兹法：在某一函数空间寻找试探函数，利用加权值的独立变分性将该函数的驻值问题转化为该函数关于权值的极值问题。其特点是：试探函数是全域的，解的精度依赖于试探函数的选取，其收敛性有明确的结论。收敛性意义：当在∞维空间中选取试探函数，当试探函数的数目趋于∞时，利用里兹法得到的近视解将收敛于精确解。收敛条件：1完备性，2试探函数满足1mC−连续性思考题1.0里兹法的优缺点？举例说明优点：理论简单，收敛性有严格的理论基础，得到的求解方程的系数矩阵是对称的，在场函数事先满足强制边界条件情况下，解具有上下界性质。缺点：当求解域的形状很不规则时候，里兹法所要找的试探函数难以满足全部的强制边界条件，这样会降低精度。另外，由于其是基于变分原理，对于没有等价泛函的问题无法处理。习题1.6两端简支弹性基础上的梁受均不载荷。22220()22LEIdwkwwqwdxdxΠ=++∫（1）选取满足边界条件的三角级数近似解1sinniiixwaLπ==∑，sinxwaLπ=，cosdwaxwdxLLππ′==，2222sindwaxwdxLLππ′′==−22222202423()sinsinsin22244LEIaxkxxwaqadxLLLLEIakLaLqaLππππππΠ=++=++∫4435424022EIakLaLqqLaaLEIkLππππ∂Π=++=→=−∂+4544sinqLxwEIkLLπππ=−+，当2Lx=，4max544qLwEIkLππ=−+（2）选取满足边界条件的幂级数近似解12(L)(....)(L)wxxaaxwaxx=−++=−取一次2dwwaLaxdx′==−，222dwwadx′′==−222202532()4()()222606LEIkwaaxxLqaxxLdxkaLqaLEILaΠ=+−+−=+−∫5324540306120kaLqLqLEILaaaEIkl∂Π=+−=→=−∂+255()120qLwxLxEIkl=−−+当2Lx=，4max454804qLwEIkL=−+精确解45()2384LqLwEI=？？？，应该是三角级数更接近精确解。因为是最小位能原理建立的泛函，因此近似解比精确解要偏小。因此只要比较三角函数和幂函数的结果，就可以知道哪个更精确了。另外，取不同的阶数，逼近速度不同，三角函数更快。（注意：只要满足强制边界就可以，怎么判断是强制还是自然？）习题1.7[][]22222222qqqqkkQdxxyykkQdkdxyqdqdnkkQdkdkxynnqdφδφφδφδφφδαφδφαφδφαφδφφφδφδφφφφφδφδφΩΩΓΩΓΓΓΓΓ−∂∂∂∂+−Ω∂∂∂∂∂∂∂−++Ω+Ω∂∂∂Π=−−Γ=−−Γ=−−∂∂∂∂−++Ω+Ω∂−Γ∂∂∂∫∫∫∫∫∫∫∫欧拉方程：22220kkQxyφφ∂∂++=∂∂φΓ自然边界：kqnαφφ−∂∂−=0qΓ−Γ强制边界：knφ∂∂=0习题1.8：板弯曲问题的平衡方程为：()4444224,2qxy∂∂∂++=∂∂∂∂位移边界条件,θ∂==∂加权余量法（事先满足强制边界条件ww=，wnθ∂=∂）得到等效积分形式：4440422420θδδθΩΓ∂∂∂∂++−−−=∂∂∂∂∂∫∫（1）分部积分得()43343332223222xxxδδδδδδΩΓΩΓΓΩ∂∂∂∂=−∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−−∂∂∂∂∂∫∫∫∫∫∫42233223222222222232222xxxxxwwdxdyxyδδδδδδδδδΩΓΩΓΓΩΩΓΓ∂∂∂∂∂∂=−∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−−∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−+∂∂∂∂∂∂∫∫∫∫∫∫∫∫∫22232222yyδδδΩΓΓ∂∂∂∂∂=−+∂∂∂∂∂∂∫∫∫()43343332223222yyyδδδδδδΩΓΩΓΓΩ∂∂∂∂=−∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−−∂∂∂∂∂∫∫∫∫∫∫代入（1）化简，并利用：xy∂∂∂=+∂∂∂可得最终结果（略）。3222322222232222022232222xxyyxxδδδδδδδδδΓΓΩΩΓΓΩΓΓ∂∂∂∂∂−+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+−+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+−+∂∂∂∂∂∂∫∫∫∫∫∫∫∫∫[]3222322222222222220201222yydsθδδδδδθδδΓΓΩΩΓΩ∂∂∂∂∂+−+∂∂∂∂∂∂−−−=∂∂∂∂∂++−∂∂∂∂∂∂+∂∫∫∫∫∫∫22222220wwdsnθδθδΓΓΓ∂−−=∂∂∂∂∂+−+∂∂∂∂∂∫∫∫()()()()()()()()()404