矩阵初步(学案)

矩阵初步【知识梳理】一、概念1、矩阵；矩阵的元素_______;是常数项，为零，是未知数的系数且不全是未知数，其中212121222111,,,,(*),ccbbaayxcybacyba方程组（*）系数矩阵;方程组的增广矩阵，它是___行____列的矩阵；系数矩阵的两个行向量、；两个列向量为、。单位矩阵二、矩阵的运算1、矩阵的加法当两个矩阵A，B的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵A，B的和（差）,记作：A+B（A-B）（2）运算律加法运算律：A+B=B+A加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）2、数乘矩阵（1）矩阵与实数的积设为任意实数，把矩阵A的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数的乘积矩阵.记作：A（2）运算律：（、为实数）分配律：BABA；AAA)(结合律：AAA3、矩阵的乘积一般，设A是km阶矩阵，B是nk阶矩阵，设C为nm矩阵如果矩阵C中第i行第j列元素ijC是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么C矩阵叫做A与B的乘积.记作：C=AB运算律分配律：ACABCBA)(，CABAACB)(结合律：BABAAB，BCACAB【基础训练】1.)211(253；253)211(2.A=0112，f(x)=xx32,则f(A)=3.已知A=145213457，B=111111121，则2A+B=_______;A-3B=_______【典例解析】例1已知实数a,b满足矩阵运算vuabbaabba40,4013且（1）求实数a,b,u,v的值.（2）设),,(),4,0(),1,3(vuOCOBOA（其中O为坐标原点），求三角形OAB与三角形OBC的面积。例2求下列矩阵的乘积（1）542613)517(（2）123432106512450403（3）126402213122310142103例3如果AB=BA,矩阵B就称为与A可交换。若A=1011试求所有与A可交换的矩阵。【反馈练习】1.计算矩阵的乘积1001xyuv=______________．2.已知A=1111，B=1111，则AB=;BA=.3.若yxyx则,7231024.线性方程组21202xzxyyz的增广矩阵是__________________．5.若关于x,y的线性方程组的增广矩阵为nm6300，方程组的解为43yx则mn的值为6.定义矩阵方幂运算：设A是一个nn的矩11kkAAAAAkN。若1101A，求（1）2A，3A；（2）猜测nAnN，并用数学归纳法证明。