矩阵论B卷及答案上海交通大学

上海交通大学《矩阵论》B卷姓名：班级：学号：一、单项选择题(每题3分，共15分)（答案AAAAB）1.设1()kkAfAk收敛，则A可以取为A.0091B.0091C.1011D.100.11注：A的特征值为0，-1，而1kkxk的收敛区间为[1,1)2.设M是n阶实数矩阵，若M的n个盖尔圆彼此分离，则MA.可以对角化B.不能对角化C.幂收敛D.幂发散注：由定理M有n个不同特征值，故可以对角化3.设211112121M的，则M不存在A.QR分解B.满秩分解C.奇异值分解D.谱分解注：M的秩为2故无QR分解4.设，则A=A.214020031B.114010061C.224020031D.204020061注：'()AtAteAe，故'000AAttAAeAee5.设3阶矩阵A满足多项式222(4)(3)AEAEO,且其最小多项式m(x)满足条件(1)(3)1mm,则A可以相似于A.200130002MB.200020022MC.200120022MD.200030013M注：B中矩阵的最小多项式为22x二、填空题(每题3分，共15分)1．设220AA，则cos2A＝[E+2cos11A]。2．已知nnAC,并且()1A,则矩阵幂级数0kkkA=［2AEA］。3．设矩阵1234412334122341A，则A的谱半径()A＝［323］。4.设(,)mnHomRR，则dim(Im)dim(ker)n5．设5阶复数矩阵A的特征多项式为22()(1)(2)f,则[20].注：把E写成1或I均可；2AEA也可有其它等价形式如222,,EEEAAAEAEAEA等三、（8分）利用初等变换求1BA，其中450231271A，450231279237B。答案：1BA=100010490141833（各数值均可取近似值如13算成25）解法一、解答中只要是使用列初等变换的思想即得4分，初等变换的用法正确但答案较离谱给6分，有清淅的步骤但结果错误较大给7分，明显简单数值计算错误或答案完全正确给8分；解法二、使用行初等变换求出1A再计算1BA，答案无明显错误给满分，否则只给2分。四、（10分）设V是由函数22,,,xxxxexexee的线性组合生成的线性空间，定义V的一个线性算子如()'Tff.求T的Jordan标准形及Jordan基。证明：1。由定义110001202222,,,,,,00100002xxxxxxxxTexexeeexexee=22,,,xxxxexexeeA，（2分）2．计算出A的特征值为1，3；（2分）3．用最小多项式或初等因子或零度判断Jordan块形状（2分）4．给出A的Jordan标准形1100011000100002；（2分）5．写出过渡矩阵与基变换正确公式；（1分）6．给出Jordan基。（1分）注：Jordan基不唯一如，2221,,,2xxxexexee；2221,,,2xxxxxxeexeexexee等均算正确（不严格要求基变换为正交变换）五、（10分)设112011134A，求A的四个相关子空间：(),(),(),()TTNARARANA.解法一、1．求出Hermite标准形；（2分）2．求出每个子空间给（2分）共8分；解法二、直接由定义求子空间给分方式：算出任意一个给4分，其余每算出一个给2分。注：计算过程中的错误如不影响子空间的维数最多可扣1分；如计算错误影响到空间维数但步骤正确扣两分。六、8分）求矩阵0.90.010.120.010.80.130.010.020.4A的孤立盖尔圆盘（即对矩阵作适当的相似变换后求得的盖尔圆盘是孤立的）。解法一、1．只要有分离盖尔圆的想法即可得；（2分）2．选择正确的相似过渡矩阵；（2分）3．算出三个分离的盖尔圆。（4分）解法二、直接计算A的列盖尔圆并指出他们是分离的给满分（8分）。注：仅求出A的行或列盖尔圆但没进一步处理给（2分）七、（8分）已知正交矩阵21311223221表示一个旋转，求其旋转轴与旋转角。1．指出特征值1，（2分）2．求出1对应的特征向量（1，1，0）并指出其为旋转轴，（2分）3．指出旋转角度和另两个共轭特征值关系，或指出旋转角与矩阵迹的关系；（2分）4．求出旋转角1arccos3，（2分）注：思想正确但没算1的特征向量或算错特征向量至多扣一分；旋转角的各种表示均可（如22arcsin3）；全题中的计算错误总共至多扣一分。八、（8分）设100101,010A求证：EAAAnn322.证法一、1．算出特征多项式211f，（2分）2．指出0fA，（2分）3．使用定理“两个矩阵函数相等当且仅当函数在A的谱上数值相等”正确证明结论，（4分）注：第3步中没有验证函数在1处的导数值扣两分。解法二、1．算出特征多项式211f，（2分）2．指出0fA，（2分）3．使用归纳法或直接从多项式221nn分解出因子211f从而证明结论。（4分）解法三、1．直接计算出3230AAAE，（4分）2．使用归纳法或直接从多项式221nn分解出因子211f从而证明结论。（4分）解法四、1．求出A的Jordan标准形；（4分）2．用Jordan标准形计算出结论。（4分）注：把A当作可相似于对角阵从而计算出结论视其是计算错误所致还是思想错误所致而给分，前者至多扣一分，后者给4分。九、（8分）对下面矩阵A求矩阵函数Ate：223111131。解法一、1．求出特征值多项式并指出其为最小多项式，（2分）2．设2012gaaa，（2分）3．列出线性方程组012201230122439ttteaaaeaaaeaaa，其（2分）4．算出AtegA（2分）注：过程全且计算出012,,aaa给满分（不管计算正确与否），未计算扣一分。解法二、1．求出特征值多项式并指出其为最小多项式，（2分）2．算出A的相似对角形及过渡矩阵，(2分)3．用书上定理写出Ate，(2分)注：有步骤但未具体计算出过渡阵扣2分，算出过渡阵但未算出其逆扣1分。十、（10分）证明矩阵范数12||||,||||||||AAA和分别是向量范数12,lll和导出的算子范数。只需证三个范数之一即可。一、1．111||||max||nijjniAa，（2分）2．11111||||||(||||)nnnnijjjijijjiAXaxxa111||max||nnjijjnjixa=111||||max||nijjniXa，（2分）3．1101||||||||sup||||XAXAX，（2分）4．设j是使1中的最大值达到的列，令0,,0,1,0,,0TjX第个，则111||||||||||||AXAX。（2分）二、三、类似略。注：证明中只要涉及到这些点即给分而不考虑证明的组织，而且4这一条并不要求有明确构造（有这种想法即可）