浅谈度量空间

1度量空间摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间，并且它是理解拓扑空间的一个重要过程.因此，本文通过度量空间的基本概念，力图给出度量空间的一些重要性质.并且引入一些度量空间的其它性质.关键词:度量空间导集闭集正文：度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间.19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念.1.度量空间的定义度量空间是一类特殊的拓扑空间，它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因此，研究度量空间的一些性质是必要的.为了证明这些性质，首先介绍以下定义.定义1.1设X是一个集合，若对于X中任意两个元素yx,都有唯一确定的实数yxp,与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：(1)正定性0,yxp,并且yxp,0当且仅当yx；(2)对称性yxp,yxp,；(3)三角不等式zypyxpzxp,,,.则称p是集合X的一个度量，同时将pX,称为度量空间或距离空间.X中的元素称为点，条件（3）称为三点不等式.定义1.2设pX,是一个度量空间，xX.对于任意给定的实数0,集合yxpXy,，记作,xB,称为一个以x为中心，以为半径的球形邻域，简称为x的一个球形邻域.22度量空间的一些例子例2.1离散的度量空间设X是任意的非空集合，对X中的任意两点Xyx,，令yxyxyxd当当01,容易验证yxd,满足关于距离的定义中的条件.我们称dX,为离散的度量空间.由此可见，在任何非空集合上总可以定义距离.使它成为度量空间.例2.2序列空间S令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中任意两点,,,,21nx及,,,,21ny，令iiiiiiyxd121,1，易知yxd,满足距离条件0),(,0),(yxdyxd的充要条件为yx.(2.1)下验证yxd,满足距离条件),(,d),(zydzxyxd）（对任意z都成立.(2.2)为此我们首先证明对任意两个复数a和b，成立不等式.111bbaababa事实上，考察,0上的函数tttf1由于在,0上，0112'ttf.所以tf在,0上单调增加，由不等式baba，我们得到3bbaababbaababababa1111.11.令,,,,21nz，,,iiiiba则iiba，代入上面不等式，得iiiiiiiiiiii111.由此立即可知yxd,满足距离条件(2.2)，即S按yxd,或一度量空间.例2.3有界函数空间AB设A是一给定的集合，令AB表示A上的有界实值（或复值）函数全体，对AB中任意两点yx,，定义tytxyxdAtsup,.下面验证yxd,满足条件(2.1)和(2.2).yxd,显然是非负的.又0,yxd等价于对一切At，成立tytx，所以yx，即yxd,满足(2.1)，此外，对所有的At成立tytztztxtytztztxtytxAtAtsupsup.所以tytztztxtytxAtAtAtsupsupsup.即yxd,满足条件(2.2).特别地，当baA,时，记AB为baB..例2.4可测函数空间)(XM设)(XM为X上的实值（或复值）的Lebesgue可测函数全体,m为Lebesgue测度，若)(Xm，对任意两个可测函数)(tf及)(tg，由于1)()(1)()(tgtftgtf所以这是X上的可积函数，令4Xdttgtftgtfgfd)()(1)()(),(如果把)(XM中的两个几乎处处相等的函数视为)(XM中的同一个元，那么利用不等式.111bbaababa及积分性质很容易验证),(gfd是距离.因此)(XM按上述距离),(gfd成为度量间.例2.5baC,空间令baC,表示闭区间ba,上的实值（或复值）连续函数全体，对baC,中任意两点,,yx定义)()(max),(tytxyxdbta容易验证它满足距离条件(2.1)和(2.2).例2.62l记122kkkxxxl.设22,lyylxxkk定义2112)(),(kkkxyyxd.则d是2l的距离。距离条件(2.1)是容易得出的，现检验条件(2.2).对任何正整数n，nnxxx,,1和nnyyy,,1都R中的元素，由Cauchy不等式nkknkknkkkyxyx121221再令右端n，即得121221kkkknkkkyxyx5再令左端的n，即得121221kkkkkkkyxyx由此可得1211212)(kkkkkkkkkkyyxxyx1221121212)(2kkkkkkkkyyxx221122112kkkkyx令取.,,kkk以kkkkkkyx,代入上式，即可得,,的三点不等式),(),(),(ddd由上述例子可见，度量空间除了有限维的欧几里德空间nR之外，还包括其他的空间.3度量空间的一些简单性质定理3.1设pX,是一个度量空间，则拓扑空间X是一个离散空间当且仅当p是一个离散的度量.证充分性若p是一个离散的度量，则对于任意的xX，存在实数0x，使得对于任意的yX,xy,有xyxp,.于是x的球形邻域xxBx,,所以，x为开集.由x的任意性以及开集的性质，故X为离散空间.必要性若X为离散空间，则对于任意的xX,单点集x为开集，于是存6在x的球形邻域xxB,,令2x，则对于任意的Xy并且xy,有yxp,x.所以,p为离散的度量.定理3.2度量空间的每一个子集的导集都是闭集.证设,X为一个度量空间，A是X的任意一个子集.欲证A的导集Ad为闭集，只需证AdAdd.如果Add,显然AdAdd.如果Add,由于AdAAdd,所以对于任意xAdd,有xA或xAd.若xA，则对于x的任意一个球形邻域,xB,有,xBxAd.于是，对于任意的y,xBxAd,则xy，取yxpyxp,,,min则,,xByB,并且yAyB,又由于yAyB,xAyB,xAxB,,所以xAxB,，因此xAd.7综上，对于任意xAdd,有xAd.所以，AdAdd.定理3.3度量空间中的每一个单点集都是闭集.证,X为一个度量空间，xX,对于任意Xy,xy,令2,yxp，于是0,并且xyB,,所以,yx,于是x=x,因此，单点集x为闭集.由x的任意性，度量空间X中的每一个单点集都是闭集.定理3.4X是一个度量空间，如果X有一个基只含有有限个元素，则X必为只含有有限多个点的离散空间.证假设X是无限集.由于X是一个度量空间，由定理3.1可知，X中的每一个单点集都是闭集，于是，对于任意xX，集合X-x都是开集.因此，拓扑空间X中有无穷多个不同的开集.又由已知X有一个基只含有有限个元素，它们中的任意多个元素之并只能组成有限个开集，所以X中的开集只有有限个，这与上述矛盾！因此假设错误，X只能是有限集.最后，由于含有有限多个点的度量空间都是离散的度量空间，故由定理1可知，X是一个离散空间.定理3.5度量空间X中的任何一个收敛序列都只有惟一的极限.证设,X是一个度量空间，ziix是X中的一个收敛序列.假若序列ziix至少有两个极限x和y.由于xy,则0,yxp.设=0,yxp,于是对于x的球形邻域,xB,存在1M∈Z,使得当i1M时，有ix,xB;对于y的球形邻域,yB,存在2M∈Z,使得当j2M时，有ix,yB.则一方面,xB,yB.（3.1）另一方面，令maxM{1M,2M},于是当iM时，有ix,xB,yB，8这与（3.1）式矛盾！所以假设错误.因此，度量空间X只有一个极限.定理3.6设X是一个度量空间，AX,xX有一个序列ziix在xX中并且收敛于x当且当x是集合X的一个凝聚点.证必要性设序列ziix在xX中并且敛于x.如果U是x的一个邻域，则存在MZ使{21,MMxx…}U,因此{21,MMxx,…}xAU,从而xAU.所以x是A的一个凝聚点.充分性如果x是A的一个凝聚点，则对于x任意一个球形邻域,xB有,xBxA,于是对于任给的正实数有02i,其中iZ.并且ixB2,xA.所以对于每一个iZ,任取ixixB2,xA,则序列{ix}zixA中并且收敛于x.4度量空间的紧致性和完备性94.1度量空间的紧致性定义4.1.1设A是度量空间pX,中的一个非空子集.集合A的直径diamA定义为diamA=是有界的如果是有界的如果AAAyxyx,),(sup定义4.1.2设pX,是一个度量空间，A是X的一个开覆盖.实数0成为开覆盖A的一个Lebesgue数，如果对于X中的任何一个子集A，只要diamA，则A包含于开覆盖A的某一个元素之中.Lebesgue数不一定存在。例如考虑实数空间的开覆盖Znnnnn)11,1()1,(则任何一个实数都不是它的Lebesgue数.定理4.1.1(Lebesgue数定理)序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个Lebesgue数.证设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖.假若开覆盖A没有Lebesgue数，则对于任何Zi，实数i1不是A的Lebesgue数，所以X有一个子集iE使得diamiEi1并且iE不包含于A的任何元素之中.在每一个iE之中任意选取一个点ix，由于X是一个序列紧致空间，所以序列,,21xx…有一个收敛的子序列,,10NNxx…设这个子序列收敛于Xy.由于A是X的一个开覆盖，故存在AA使得Xy，并且存在实数0使得球形邻域AyB,.由于序列,,10NNxx…收敛于y，所以存在整数0M使得当Mi时)2,(yBxiN.令k为任意一个整数，使得k2M,则对于任何kNEz有),(),(),(yxxzyzkkNN10这证明kNEAyB),(A与kNE的选取矛盾.定理4.1.2每一个序列紧致列紧致的度量空间都是紧致空间.证设X是一个序列紧致的度量空间,A是X的一