毕业论文正交矩阵及其应用

I摘要正交矩阵是数学研究中的一类重要的工具,它的应用非常广泛.本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用:正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交矩阵在物理中的应用.关键词:矩阵;正交矩阵;标准正交基;集合;特征根;行列式]]AbstractOrthogonalmatrixisthemathematicalstudyofanimportantclassoftools,itiswidelyused.Thisarticlecitesthefollowingmainfourorthogonalmatrixapplications:orthogonalmatrixinlinearalgebra,OrthogonalmatrixtopologyandModemAlgebra,orthogonalmatrixtheapplicationofphysics.Keywords:matrix;orthogonalmatrix;orthonormalbasis;acollectionofeigenvalues;determinant目录摘要..................................................................IAbstract................................................................II0引言...................................................................11正交矩阵的定义及其简单性质.............................................11.1正交矩阵的定义及其判定...........................................11.2正交矩阵的性质...................................................12正交矩阵的应用.........................................................22.1正交矩阵在线性代数中的应用.......................................22.2正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用.................................82.3正交矩阵在物理中的作用..........................................11参考文献................................................................15第1页,共15页0引言正交矩阵是一类重要的实方阵,由于它的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的定义以及其性质入手,来探讨它的四大应用即:正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交矩阵在物理中的应用.1正交矩阵的定义及其简单性质1.1正交矩阵的的定义及其判定定义1.1[1]n阶实矩阵A,若满足EAA',则称A为正交矩阵.判定1A为正交矩阵1'AA.判定2A为正交矩阵'1,,,1,2,,0,,ijijijnij.判定3A为正交矩阵'1,,1,2,...0,,ijijijnij.1.2正交矩阵的性质设A为正交矩阵,它有如下性质:性质1[5]1A,1A存在,并且1A也为正交矩阵;性质2[5]'A,*A也是正交矩阵;当1A时,'*AA,即ijijaA;当1A时.'*AA,即ijijaA.性质3[5]若B也是正交矩阵,则''11,,,ABABABABAB都为正交矩阵.证明性质1显然1A,'11''1AAA所以1A也是正交矩阵.性质2'1AA,显然'A为正交矩阵.第2页,共15页由*'11,AAAAA,当1A时,'*AA,即ijijaA;当1A时,'*AA,即ijijaA;所以*A为正交矩阵.性质3由'1'1,AABB可知'1''11ABBABAAB,故AB为正交矩阵.由性质1,性质2推知''11,,,ABABABAB均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点,还有例如它的特征值的模为1,且属于不同特征值的特征向量相互正交;如果是它的特征值,那么1也是它的特征值,另外正交矩阵可以对角化,即存在复可逆矩阵T,使112ATT其中1,...,n为A的全部特征值,即11,2,...,iin.这些性质这里就不再证明了.2正交矩阵的应用2.1正交矩阵在线性代数中的应用在正交矩阵中,有一类初等旋转矩阵,我们也称它为Givens矩阵.这里,我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积,给出化欧空间的一组基为标准正交基的另一种方法.设向量'21,n,令ijwwsji22,swdswcji,,则称n阶矩阵第3页,共15页行行jicddcTij11i列j列为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵ijT,是由向量W的第ji,两个元素定义的,与单位矩阵只在第ji,行和第ji,列相应的四个元素上有差别.设ijT是由向量W定义的初等旋转矩阵ij,则有如下的性质:1ijT是正交矩阵;2设',21,,nijuuuWT,则有jikwuusukkji,,0,;3用ijT左乘任一矩阵A,ijTA只改变A的第i行和j行元素（用ijT右乘任一矩阵A,AijT只改变A的第i列和j列元素）.证明1122222swwdcji,故ETTijij',ijT是正交矩阵.2由ijT得定义知,用ijT左乘向量W,只改变W的第ji,两个元素,且022swwswwcwdwusswswdwcwujiijjijjijii所以ijT左乘W,使ijTW的第i个分量非负,第j个分量为0,其余分量不变.3根据2及矩阵乘法即可以得出结论.引理2.1.1[7]任何n阶实非奇异矩阵nnijaA,可通过左连乘初等旋转矩阵化为第4页,共15页上三角矩阵,且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理2.1.1[7]设P是n阶正交矩阵1若1P,则P可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积,即rPPPP21;2若1P,则P可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵nE,即nrEPPPP21,其中),2,1(riPi是初等旋转矩阵.nnnE1111证明由于P是n阶正交矩阵,根据引理1知存在初等旋转矩阵rSSS,,21使RPSSSSrr121这里R是n阶上三角阵,而且R得对角线上的元素除最后一个外都是正的,所以有RSSSPr''2'1(2.1)由P是正交矩阵和(2.1)式得ERSSSSRPPrr''11''即ERR'(2.2)设nnnnrrrrrrR22211211其中,12,10nirii,则1112221121121221211'nnnnnnnnrrrrrrrrrrrrRR由上式得第5页,共15页1P11P11,2,1,;1;0且且njinjinjijijirij所以1P,E1PERn-当，当(2.3)于是由(2.1)(2.3)式得1当1P时,''2'1rSSSP;2当1P时,nrESSSP''2'1.记riSPii,,2,1',iP是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.引理2.1.2[7]设mnijaA,秩mA,则A可以通过左连乘初等旋转矩阵,把'A变为OR的形式,其中R是m阶上三角阵,O是mmn矩阵.证明由引理2知ORPA1,其中P是n阶正交矩阵,1R是m阶上三角阵,又根据定理1知:1,1,11PEPPPPPPnrr其中riPi,2,1是初等旋转矩阵.1当1P时,ORPPPAr121令ORAPPRRr'1'1,2当1P时,OREPPPAnr121于是有OROREAPPnr1'1'显然,R是m阶上三角阵,当mn时R与1R除最后一行对应元素绝对值相等、符号相反外,其余元素对应相等.当mn时,1RR,所以由1、2知本定理的结论成立.第6页,共15页设nmmmmnnaaaaaaaaa21222122121111,,,是欧式空间nR的子空间mV的一组基,记nmnnmmmaaaaaaaaaA21222211121121是秩为m的mn矩阵.若mnijaA满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵rPPP21使ORAPPr'1'(2.4)且'1'2'21',,,,,,PPPPPPPPErr所以''1'2''1'2'1'PPPPEPPPPrrr(2.5)由(2.4)、(2.5)两式知,对EA、做同样的旋转变换,在把A化为OR的同时,就将E化成了'P,而P的前m个列向量属于子空间mV.综上所述可得化欧式空间的子空间mV的一组基:miaaaniiiim,,2,1,,,,,,'2121为一组标准正交基德方法为:1由已知基m,,21为列向量构成矩阵mnijaA;2对矩阵EA施行初等旋转变换,化A为OR,同时E就被化为正交矩阵'P,这里R是m阶上三角阵;3取P的前m个列向量便可得mV的一组标准正交基.显然,上述方法是求子空间mV的一组标准正交基的另一种方法.下面,我们通过实例说明此方法的应用.第7页,共15页例2.1.1求以向量'3'2'11,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1为基的向量空间3V的一组标准正交基.解矩阵100010001111321A对分块矩阵EA依次左乘342312,,TTT,其中21230023210000100001,10000313200323100001,10000100002222002222342312TTT得21212121000233213213213320002361616123000212121212122334EATTT则21230021321320213216121213216121,21212121233213213210326161002121'PP取第8页,共15页