2019版高考数学二轮复习第二篇第10练三角恒等变换与解三角形精准提分练习文

第10练三角恒等变换与解三角形[明晰考情]1.命题角度：与三角恒等变换、三角函数的性质相结合，考查解三角形及三角形的面积问题.2.题目难度：一般在解答题的第一题位置，中档难度.考点一利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧(1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acosB－π6.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.解(1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB.又由bsinA＝acosB－π6，得asinB＝acosB－π6，即sinB＝cosB－π6，所以tanB＝3.又因为B∈(0，π)，所以B＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acosB－π6，可得sinA＝217.因为a＜c，所以cosA＝277.因此sin2A＝2sinAcosA＝437，cos2A＝2cos2A－1＝17.所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝437×12－17×32＝3314.2.(2018·唐山模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝DA＝2，∠ACB＝30°.(1)求证：BC＝4cos∠CBD；(2)点C移动时，判断CD是否为定长，并说明理由.(1)证明在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝30°，由正弦定理可知，BCsin∠BAC＝2sin30°，所以BC＝4sin∠BAC.又∠ABD＝60°，∠ACB＝30°，则∠BAC＋∠CBD＝90°，则sin∠BAC＝cos∠CBD，所以BC＝4cos∠CBD.(2)解CD为定长，因为在△BCD中，由(1)及余弦定理可知，CD2＝BC2＋BD2－2×BC×BD×cos∠CBD，＝BC2＋4－4BCcos∠CBD＝BC2＋4－BC2＝4，所以CD＝2.3.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且1a＋b＋1a＋c＝3a＋b＋c.(1)求角A的大小；(2)若cb＝12＋3，a＝15，求b的值.解(1)由题意，可得a＋b＋ca＋b＋a＋b＋ca＋c＝3，即ca＋b＋ba＋c＝1，整理得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理知，cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，因为0＜A＜π，所以A＝π3.(2)根据正弦定理，得cb＝sinCsinB＝sinA＋BsinB＝sinAcosB＋cosAsinBsinB＝sinAtanB＋cosA＝32tanB＋12＝12＋3，解得tanB＝12，所以sinB＝55.由正弦定理得，b＝asinBsinA＝15×5532＝2.考点二三角形的面积问题方法技巧三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.4.(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长.解(1)由题设得12acsinB＝a23sinA，即12csinB＝a3sinA.由正弦定理，得12sinCsinB＝sinA3sinA，故sinBsinC＝23.(2)由题设及(1)，得cosBcosC－sinBsinC＝－12，即cos(B＋C)＝－12.所以B＋C＝2π3，故A＝π3.由题意得12bcsinA＝a23sinA，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝33.故△ABC的周长为3＋33.5.(2018·内蒙古集宁一中月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足23asinCsinB＝asinA＋bsinB－csinC.(1)求角C的大小；(2)若acosπ2－B＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)且a＝2，求△ABC的面积.解(1)由23asinCsinB＝asinA＋bsinB－csinC得，23absinC＝a2＋b2－c2，∴3sinC＝a2＋b2－c22ab，∴3sinC＝cosC，∴tanC＝33，∵C∈(0，π)，∴C＝π6.(2)由acosπ2－B＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)，得asinB＝bcosA，由正弦定理得sinA＝cosA，且A∈(0，π)，∴A＝π4.根据正弦定理可得2sinπ4＝csinπ6，解得c＝2，∴S△ABC＝12acsinB＝12×2×2sin(π－A－C)＝2sinπ4＋π6＝3＋12.6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B的大小；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值.解(1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，①又∵A＝π－(B＋C)，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.②由①②和C∈(0，π)，得sinB＝cosB.又∵B∈(0，π)，∴B＝π4.(2)△ABC的面积S＝12acsinB＝24ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accosπ4.又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立.因此△ABC面积的最大值为2＋1.考点三解三角形的综合问题方法技巧(1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值.(3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.7.(2018·东北三校联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a－2ccosB.(1)求角C的大小；(2)求3cosA＋sinB＋π3的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值.解(1)b＝2a－2ccosB＝2a－2c·a2＋c2－b22ac，整理得a2＋b2－c2＝ab，即cosC＝12，因为0Cπ，所以C＝π3.(2)由(1)知C＝π3，则B＝π－A－π3，于是3cosA＋sinB＋π3＝3cosA＋sin(π－A)＝3cosA＋sinA＝2sinA＋π3，由A＝2π3－B，得0A2π3，π3A＋π3π.故当A＝π6时，2sinA＋π3取得最大值2，此时B＝π2.8.设函数f(x)＝sinxcosx－sin2x－π4(x∈R)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若fC2＝0，c＝2，求△ABC面积的最大值.解(1)函数f(x)＝sinxcosx－sin2x－π4(x∈R)，化简可得f(x)＝12sin2x－121－cos2x－π2＝sin2x－12.令2kπ－π2≤2x≤2kπ＋π2(k∈Z)，则kπ－π4≤x≤kπ＋π4(k∈Z)，即f(x)的单调递增区间为kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z).令2kπ＋π2≤2x≤2kπ＋3π2(k∈Z)，则kπ＋π4≤x≤kπ＋3π4(k∈Z)，即f(x)的单调递减区间为kπ＋π4，kπ＋3π4(k∈Z).(2)由fC2＝0，得sinC＝12，又因为△ABC是锐角三角形，所以C＝π6.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，将c＝2，C＝π6代入得4＝a2＋b2－3ab，由基本不等式得a2＋b2＝4＋3ab≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.即ab≤4(2＋3)，所以S△ABC＝12absinC≤12·4(2＋3)·12＝2＋3，即△ABC面积的最大值为2＋3.9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且m＝(2a－c，cosC)，n＝(b，cosB)，m∥n.(1)求角B的大小；(2)若b＝1，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC内切圆的半径.解(1)由已知可得(2a－c)cosB＝bcosC，结合正弦定理可得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sin(B＋C)，又sinA＝sin(B＋C)＞0，所以cosB＝12，又0Bπ，所以B＝π3.(2)由(1)得B＝π3，又b＝1，在△ABC中，b2＝a2＋c2－2accosB，所以12＝a2＋c2－ac，即1＋3ac＝(a＋c)2.又(a＋c)2≥4ac，所以1＋3ac≥4ac，即ac≤1，当且仅当a＝c＝1时取等号.从而S△ABC＝12acsinB＝34ac≤34，当且仅当a＝c＝1时，S△ABC取得最大值34.设△ABC内切圆的半径为r，由S△ABC＝12(a＋b＋c)r，得r＝36.典例(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a＋b，sinA－sinC)，向量n＝(c，sinA－sinB)，且m∥n.(1)求角B的大小；(2)设BC的中点为D，且AD＝3，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积.审题路线图向量m∥n―→边角关系式――→利用正弦定理转化△ABC三边关系式――→余弦定理求得角B――→引进变量设角θ用θ表示a＋2c目标函数―→辅助角公式求最值―→求S△ABC规范解答·评分标准解(1)因为m∥n，所以(a＋b)(sinA－sinB)－c(sinA－sinC)＝0，1分由正弦定理，可得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，即a2＋c2－b2＝ac.3分由余弦定理可知，cosB＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12.因为B∈(0，π)，所以B＝π3.5分(2)设∠BAD＝θ，则在△BAD中，由B＝π3可知，θ∈0，2π3.由正弦定理及AD＝3，有BDsinθ＝ABsin2π3－θ＝3sinπ3＝2，所以BD＝2sinθ，AB＝2sin2π3－θ＝3cosθ＋sinθ，所以a＝2BD＝4sinθ，c＝AB＝3cosθ＋sinθ，8分从而a＋2c＝23cosθ＋6sinθ＝43sinθ＋π6.由θ∈0，2π3可知，θ＋π6∈π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，a＋2c取得最大值43.11分此时a＝23，c＝3，所以S△ABC＝12acsinB＝332.12分构建答题模板[第一步]找条件：分析寻找三角形中的边角关系.[第二步]巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化.[第三步]得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论.[第四步]再反思：审视转化过程的等价性与合理性.1.(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－17.(1)求A；(2)求AC边上的高.解(1)在△ABC中，因为cosB＝－17，所以sinB＝1－cos2B＝437.由正弦定理得sinA＝asinBb＝32.由题设知π2＜B＜π，所以0＜A＜π2，所以A＝π3.(2)在△ABC中，因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝3314，所以AC边上的高为asinC＝7×3314＝332.2.(2018·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.解(1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A＝ABsin∠ADB，即5sin45°＝2sin∠AD