江苏大学-常微分方程-5-2-微分方程组一些例子

5.1线性微分方程组一些例子（DifferentialEEEqqquuuaationSSSyystem）[教学内容]1.介绍一阶线性微分方程组的形式（FirstorderLinearSystem）及其柯西问题.2.介绍一阶齐次线性微分方程组的形式(Homogeneous).4.介绍常系数一阶线性齐次微分方程组形式(Alinearsystemwithconstantcoefficients).5.线性微分方程组柯西问题解的存在唯一性定理（ExistenceandUniquenessofsolutiontoCauchyProblemofDifferentialequationsystem）[教学重难点]重点是知道线性微分方程组分类；难点是如何建立微分方程组模型.[教学方法]预习1、2；讲授1、2、3、4[考核目标]1.会判定线性微分方程组的各种类型.2.会用消元法（methodofelimination）和试解法(trialsolution)求解一阶常系数线性齐次微分方程组.1.微分方程组一些例子（1）鸡蛋温度模型：LetT1(t),T2(t)respectivelydenotethetemperatureofyolkandwhiteofegginwatertank,andletT0(t)denotethetemperatureofexternalwater.Thenwegetthefollowingdifferentialequationsystem⎧dT1⎧dT1⎪dt=a(T2−T1)⎪dt=−aT1+aT2⎨dT⎪2，=a(T1−T2)+b(Te(t)−T2)⎨dT⎪2=aT−(a+b)T)+bT(t)⎩dt⎩dt12e文火煮鸡蛋（T(t)=100e−kt）、冰水冷却鸡蛋（T(t)=0）edx考察=−2x+2y,dtedy=2x−5y.下面运用消元法将齐次线性方程组化为二阶方程，由dt第一个方程得到，y=(x'+2x)/2，代入第二个方程得到，(x''+2x')/2=2x−5(x'+2x)/2，⎠1λt1λt11⎠⎝化简得到x''+7x'+6x=0，其特征方程为λ2+7λ+6=0，λ=−1,λ2=−6，通解为x=c1e+c2e−6t，y=(x'+2x)/2=c1e−t2–2c2e−6t.dX⎛−22⎞⎛x⎞将方程组及其解函数用矩阵和向量形式表示：=AX,A=⎜⎜⎟⎟,X=⎜⎜⎟⎟，⎛x⎞⎛1⎞−t⎛1⎞dt−6t⎝2−5⎠⎝y⎠X=⎜⎜y⎟⎟=c1⎜⎜1/2⎟⎟e+c2⎜⎜−2⎟⎟e,c1,c2为任意常数.⎝⎠⎝⎠⎝⎠试解法（trialsolutionmethod)：假定方程组具有形式解X*=⎜a1⎟eλt，代入方程组得到，⎛⎞⎜a2⎟dX*⎛a⎞⎛−22⎞⎛a⎞⎛a⎞⎛−22⎞⎛a⎞=λ⎜⎜⎟⎟e=⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟e，λ⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟，这是三个未知数，两个dt⎝a2⎠⎝2−5⎠⎝a2⎠⎝a2⎠⎝2−5⎠⎝a2⎠⎛−2-λ2⎞⎛a1⎞⎛0⎞方程且是非线性方程组.换种思路？⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟，存在非零解，于是系数⎝2−5-λ⎠⎝a2⎠⎝0⎠行列式必须为零，即−2-λ2⎛a=0，解得λ，再由齐次线性代数方程组解出⎜⎜1⎞⎟⎟，2−5-λ⎝a2⎠这实际就是矩阵A的特征值（eigenvalues）和特征向量(eigenvectors)问题！⎛1⎞⎛1⎞解：经计算A的特征值为λ1=−1,λ2=−6，相应的特征向量分别为η1=⎜⎜1/2⎟⎟,η2=⎜⎜-2⎟⎟,⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛1⎞于是得到两个解函数X=⎜⎜1⎟e−t和X=⎜⎜⎟⎟e−6t.由后面线性方程组通解理论值，1⎝1/2⎟⎛x⎞⎝-2⎠⎛1⎞−t⎛1⎞−6t相应齐次线性方程组的通解为X=⎜⎜y⎟⎟=c1⎜⎜1/2⎟⎟e+c2⎜⎜−2⎟⎟e,c1,c2为任意常数.⎝⎠⎝⎠⎝⎠作业62.运用消元法求解方程组（1），运用试解法求解方程组（2）.(1)⎧dx⎪dt⎨dy⎪⎩dt=x+2y=2x+y;(2)⎧dx⎪dt⎨dy⎪⎩dt=3x+2y.=2x+6y（2）鱼缸温度模型：记xi(t)表示第i个鱼缸温度，1−t2x1'=a(x2−x1)+a(x3−x1),x2'=a(x1−x2)+a(x3−x2),x3'=a(x1−x3)+a(x2−x3)特别地取a=1，用矩阵形式书写上述方程组为⎛−211⎞dX⎜⎟⎛x1⎞⎜⎟=AX,A=⎜1−21⎟,X=⎜x2⎟dt⎜⎟⎜⎟⎝11−2⎠⎝x3⎠An×nrealsymmetrymatrixAT=A具有n个线性无关的特征向量，即A可以对角化.（3）x'=x+2y,y'=−x−y，x表示Susan对George的爱，y表示George对Susan的爱，x=0,y=0表示平衡（不多爱一点，不少爱一点）矩阵指数、齐次线性方程组解耦（4）水箱高度模型：⎧x'=ax+by⎨⎩y'=cx+dy⎧u=a11x+a12y，经变量替换⎨⎩v=a21x+a22y⎧u'=λ1u化为⎨⎩v'=λ2v记x(t),⎧1x'=c(y−x)y(t)分别表示水箱1和2的水面高度，则⎨⎩2y'=c(x−y)，这里1x',2y'分别表示⎜⎨⎨⎠⎠两水箱之间水的流速，c=2为比例系数.⎧x'=-2x+2y⎨⎩y'=x−y⎧u=x+2y,令⎨⎩v=x−y分别表示水箱中总⎧u'=0水量和两水箱的压力差，则得到⎨⎩v'=−3v结论：如果系数矩阵A是实对称矩阵，则原方程组一定可以解耦。dX=A(t)X,⎛A(t)=⎜−1+3/2cos2t1−3/2cos(t)sin(t)⎞⎟，A(t)的特征值为（5）dt⎝−1−3/2sin(t)cos(t)−1+3/2sin2t⎟λ=−1±i7*⎛−具有负实部，但验证可知X(t)=⎜⎜cos(t)⎞⎟et/2为方程组的一个非零解，当1,24⎝sin(t)⎟t趋于正无穷时，此解趋于无穷.⎧dx（6）两种群模型：⎪dtdy⎪⎩dt=x(a−by)=y(c−dy)，其中x,y表示两种群在时间t的数量，a,b,c,d为正常数时，为竞争模型；当a,c为正，b,d为负常数时，共生模型.⎧dx（7）Duffing方程：⎪dtdy⎪⎩dt件时，方程会有混沌解.=y=−x+x3-εay+εbcos(wt)在ε0很小且参数a,b满足一定条2.线性微分方程组形式及其与n阶线性微分方程之间联系⎛x⎞⎛f(t)⎞⎜1⎟⎜1⎟dX（1）=A(t)X+F(t)，其中A(t)=(a(t)),X=⎜x2⎟F(t)=⎜f2(t)⎟.若F(t)=0，则dtijn×n⎜⋮⎟,⎜⎟⎜⎟⎜⋮⎟⎜⎟⎜⎟⎝xn⎠⎝fn(t)⎠称上述方程组为齐次线性方程组；若A(t)为常数矩阵，则称上述齐次线性方程组为常系数齐⎛x10⎞⎜⎟⎜x20⎟次线性微分方程组。求解原方程组加上初值条件X(t0)=⎜⋮⎜⎜⎟的解问题，称为柯西问题或⎟⎟初值问题.⎝xn0⎠dn（2）x+a(t)dn−1x+a(t)dn−2x+⋯+a(t)x=f(t)为n阶线性微分方程.dtn1dtn−12dtn−2n⎨x⎝0⎝x⎠⎠⎧⎪（3）引入变量⎪⎪⎪⎩xx1=xx2=x'⋮=x(n−1)，则上述n阶线性方程化为线性方程组.（详见教材P192）例72.将下列初值问题化为与之等价一阶方程组的初值问题(1)x(4)+x=tet,x(0)=1,x'(0)=−1,x''(0)=2,x'''(0)=0.⎧x1=x⎛x1⎞⎛0100⎞⎛0⎞⎪⎜⎟⎜⎟⎜⎟解：令⎪x2=x'，则dX=AX+F(t),X=⎜x2⎟，A=⎜0010⎟F(t)=⎜0⎟.⎨⎜⎟⎜⎟,⎜⎟⎪x3=x''dt⎜x3⎟⎜0001⎟⎜0⎟⎪⎩x4=x'''⎛1⎞⎜⎟⎝4⎠⎜−100⎟⎜tet⎟⎜⎟⎜-1⎟初始条件为X(0)=⎜2⎟.⎜⎟⎜⎟⎝0⎠作业63.将下列高阶线性方程化为与之等价一阶方程组（1）x''+x=sec(t)；（2）x'''−8x=e2t.3.一阶线性微分方程初值问题解的存在唯一性定理⎛x⎞⎛f(t)⎞⎜1⎟⎜1⎟dX（1）定理：考察=A(t)X+F(t)，其中A(t)=(a(t)),X=⎜x2⎟F(t)=⎜f2(t)⎟，dtijn×n⎜⋮⎟,⎜⎟⎜⎟⎜⋮⎟⎜⎟⎜⎟⎛x10⎞⎜⎟⎝xn⎠⎝fn(t)⎠⎜x20⎟加上初始条件X(t0)=⎜⋮⎜⎜⎟.如果矩阵函数A(t)和向量函数F(t)在区间[a,b]都连续，则对⎟⎟⎝xn0⎠x⎜10⎟⎛⎞⎜x20⎟n于任一t0∈[a,b],X(t0)=⎜⋮⎜⎟∈R⎟，方程组存在唯一解满足初值条件.⎜⎟n0⎝⎠（2）定理：n阶线性微分方程初值问题解的存在唯一性定理.n