江苏省宿迁市沭阳县如东中学2016届高三上学期9月段考数学试卷(含答案)

第1页共25页2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳县如东中学高三（上）9月段考数学试卷一、填空题：1．已知集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，则A∩B=__________．2．设复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，则=__________．3．在△ABC中，若==，则△ABC是__________三角形．4．（实）若函数在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是__________．5．已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）在区间（0，）上单调递增，则ω的最大值为__________．6．曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为__________．7．设方程2lnx=10﹣3x的解为x0，则关于x的不等式2x﹣3＜x0的最大整数解为__________．8．若不等式x2﹣logmx＜0在（0，）内恒成立，则实数m的取值范围为__________．9．已知函数f（x）=x2+2x﹣3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，则集合M∩N的面积是__________．10．设一次函数f（x）为函数F（x）的导数，若存在实数x0∈（1，2），使得f（﹣x0）=﹣f（x0）＜0，则不等式F（2x﹣1）＜F（x）的解集为__________．第2页共25页11．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=x+y，|x|+|y|≤1，x，y∈R}所表示的区域的面积是__________．12．在△ABC中，已知AB=5，BC=3，∠B=2∠A，则边AC的长为__________．13．设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为，则的最大值等于__________．14．已知f（x）=2mx+m2+2，m≠0，m∈R，x∈R．若|x1|+|x2|=1，则的取值范围是__________．二、解答题：15．（14分）已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．16．（14分）设f（x）=log2﹣x为奇函数，a为常数．（1）求a的值；（2）判断并证明函数f（x）在x∈（1，+∞）时的单调性；（3）若对于区间上的每一个x值，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m取值范围．17．（14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；第3页共25页（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．18．（16分）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，，a=3，△ABC的面积为6，D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d．（1）求角A的正弦值；（2）求边b、c；（3）求d的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+bx（a，b∈R），f′（x）为其导函数，且x=3时f（x）有极小值﹣9．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若g（x）=2mf′（x）+（6m﹣8）x+6m+1，h（x）=mx，当m＞0时，对于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；（3）若不等式f′（x）＞k（xlnx﹣1）﹣6x﹣4（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）2，a，b是常数．（1）若a≠b，求证：函数f（x）存在极大值和极小值；（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1、x2，令点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））．如果直线AB的斜率为﹣，求函数f（x）和f′（x）的公共递减区间的长度；（3）若f（x）≥mxf′（x）对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件．第4页共25页三、附加题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．求函数y=sin2（2x+）的导数．22．将水注入锥形容器中，其速度为4m3/min，设锥形容器的高为8m，顶口直径为6m，求当水深为5m时，水面上升的速度．23．证明下列命题：（1）若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数；（2）可导的奇函数的导函数是偶函数．24．已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的值域．2015-2016学年江苏省宿迁市沭阳县如东中学高三（上）9月段考数学试卷一、填空题：1．已知集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，则A∩B={1，2}．考点：交集及其运算．第5页共25页专题：计算题．分析：利用交集的定义找出A，B的所有的公共元素组成的集合即为A∩B．解答：解：∵集合A={1，2，3}，B={1，2，5}，∴A∩B={1，2}故答案为：{1，2}．点评：本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．设复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，则=i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数代入表达式，复数的分母、分子同乘分母的共轭复数，化简复数即可．解答：解：因为复数z1=2+2i，z2=2﹣2i，所以=====i．故答案为：i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的分母实数化，是解题的关键，是基础题．3．在△ABC中，若==，则△ABC是等腰直角三角形．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得sinA=cosA，sinB=cosB，可得A=B=，故C=，可得三角形为等腰直角．解答：解：△ABC中，∵==，再由正弦定理可得==，故有sinA=cosA，sinB=cosB，∴A=B=，∴C=，故三角形为等腰直角，第6页共25页故答案为：等腰直角．点评：本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．4．（实）若函数在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，3]．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：先求导函数，由函数在区间（0，1]上是减函数，可得导函数小于等于0在区间（0，1]上恒成立，从而可求实数a的取值范围．解答：解：显然a≠0，求导函数可得：∵函数在区间（0，1]上是减函数，∴在区间（0，1]上恒成立∴∴a≤0或1＜a≤3∵a≠0∴实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，3]故答案为：（﹣∞，0）∪（1，3]点评：本题重点考查导数知识的运用，考查恒成立问题，解题的关键是利用导函数小于等于0在区间（0，1]上恒成立建立不等式．第7页共25页5．已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）在区间（0，）上单调递增，则ω的最大值为．考点：正弦函数的图象．专题：二项式定理．分析：由条件利用正弦函数的增区间可得2ω•﹣≤，由此求得ω的最大值．解答：解：由函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）在区间（0，）上单调递增，可得2ω•﹣≤，求得ω≤，故ω的最大值为，故答案为：．点评：本题主要考查正弦函数的增区间，属于基础题．6．曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为（0，0）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出曲线方程的导函数，把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把x=0代入切线方程中即可求出y轴交点坐标．解答：解：对y=2lnx求导得：y′=，∵切点坐标为（e，2），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣2=（x﹣e），把x=0代入切线方程得：y=0，所以切线与y轴交点坐标为（0，0）．故答案为：（0，0）．点评：本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程．7．设方程2lnx=10﹣3x的解为x0，则关于x的不等式2x﹣3＜x0的最大整数解为2．第8页共25页考点：根的存在性及根的个数判断；函数图象的作法．专题：数形结合．分析：先画出f（x）=2lnx和g（x）=10﹣3x这两个函数的大致图象，因为是要求整数解，所以比较下整数点通过图象可先判断出，2＜x0＜3再看不等式，2x﹣3＜x0因为要求整数解，所以2x﹣3也应为整数，所以有2x﹣3≤2所以x≤5/2那么最大整数解为2解答：解：先画出f（x）=2lnx和g（x）=10﹣3x这两个函数的大致图象如图：通过图象可先判断出2＜x0＜3∵2x﹣3＜x0∴2x﹣3≤2∴x≤5/2故最大整数解为2点评：考察了函数图象的画法和利用数学结合解决实际问题．8．若不等式x2﹣logmx＜0在（0，）内恒成立，则实数m的取值范围为令f（x）=2ax（a＞0），∴F（x）=ax2，第9页共25页∵F（2x﹣1）＜F（x）∴F（2x﹣1）﹣F（x）=a（2x﹣1）2﹣ax2=a（3x﹣1）（x﹣1）＜0即（3x﹣1）（x﹣1）＜0，解得，．故答案为：点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及不等式的解法，属于基础题．11．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=x+y，|x|+|y|≤1，x，y∈R}所表示的区域的面积是4．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由||=||=•=2，=x+y，不妨设=（2，0），=（m，n），利用=2，2m=2，解得m=1，n=．可得=x+y=．令a=2x+y，b=，解得，x=，由|x|+|y|≤1，x，y∈R，可得+≤1，对a，b分类讨论，画出图形，可得（a，b）满足的区域为图中阴影部分．即可得出．解答：解：∵||=||=•=2，不妨设=（2，0），=（m，n），∴=2，2m=2，解得m=1，n=．∵=x+y，=x（2，0）+y=．令a=2x+y，b=，解得，x=，第10页共25页由|x|+|y|≤1，x，y∈R，可得+≤1，对a，b分类讨论，画出图形，可得（a，b）满足的区域为图中阴影部分．可得（a，b）满足的区域的面积为=4．故答案为：4．点评：本题考查了向量的运算性质、基本不等式的性质、线性规划的有关知识、的面积，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．在△ABC中，已知AB=5，BC=3，∠B=2∠A，则边AC的长为2．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，再利用二倍角的正弦函数公式化简，表示出cosA，再利用余弦定理列出关系式，将各自的值代入计算求出b的值，即为AC的长．解答：解：在△ABC中，AB=c=5，BC=a=3，AC=b，∠B=2∠A，由正弦定理=得：=，即=，整理得：b=6cosA，即cosA=，再由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即9=b2+25﹣10b•，解得：b=2（负值舍去），则AC=b=2．故答案为：2第11页共25页点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．13．设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为，则的最大值等于2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．解答：解：===．只考虑x＞0，则===≤2，当且仅当时取等号．∴的最大值等于2．故答案为：2．点评：本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知f（x）=2mx+m2+2，m≠0，m∈R，x∈R．若|x1|+|x2|=1，则的取值范围是．第12页共25页考点：